Question

19．如图所示，内壁光滑的木槽质量m_A=0.1kg，内径为2m，置于水平桌面上，槽与桌面间的动摩擦因数为μ=0.3．槽内有两个可视为质点的小球B和C，它们的质量分别是m_B=0.1kg、m_C=0.2kg．现用两球将很短的轻弹簧压紧（球与弹簧不连接），且B球到木槽左端、C球到木槽右端的距离均为L=1m，这时弹簧的弹性势能为E_p=0.3J．同时释放B、C球，并假设小球与槽碰撞后不分离，碰撞时间极短，g=10m/s²，求：
（1）第一个小球与槽碰撞后的共同速度．
（2）第二个小球与槽碰撞后的共同速度．
（3）整个运动过程中，槽与桌面间因摩擦而产生的热量．

Answer 1

分析 （1）分别对BC和AB为研究对象，由动量守恒及机械能守恒可求得第1个小球一槽碰撞后的共同速度；
（2）AB相撞后，一起向左做匀减速运动，由牛顿第二定律可求得共同的加速度；由运动学公式可求得运动时间，则可判断C与相撞是A是否停止，再由动量守恒可求得共同速度；
（3）物体之间的相互摩擦产生热量，由功能关系即可求出产生的总热量．

解答 解：（1、2）释放瞬间，系统动量守恒，根据动量守恒定律得：m_Bv_B=m_Cv_C…①
根据机械能守恒定律得：${E_P}=\frac{1}{2}{m_B}{v_B}^2+\frac{1}{2}{m_C}{v_C}^2$…②
联立①②得：v_B=2m/s，v_C=1m/s
第一个小球与槽碰撞过程中，系统动量守恒，以B球速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：m_Bv_B=（m_B+m_A）v₁…③
代入数据得：v₁=1m/s，方向水平向左
对AB整体有：μ（m_B+m_A+m_C）g=（m_B+m_A）a
代入数据得：a=6m/s²
AB整体开始运动到速度减为0的时间为：$t=\frac{v_1}{a}=\frac{1}{6}s$
经过的位移为：${s_1}=\frac{{0+{v_1}}}{2}t=\frac{0+1}{2}×\frac{1}{6}=\frac{1}{12}m$
在这段时间里，C走过的位移为：${s_C}={v_C}t=\frac{1}{6}m$
因为${s_1}+{s_C}＜\frac{L}{2}$，故AB是停下来后与C发生碰撞．
m_Cv_C=（m_B+m_A+m_C）v₂
代入数据得：v₂=0.5m/s，方向水平向右
（3）槽与桌面间因摩擦而产生的热量为：
$\begin{array}{l}Q={Q_1}+{Q_2}=μ（{m_B}+{m_A}+m{\;}_C）g{s_1}+\frac{1}{2}（{m_B}+{m_A}+m{\;}_C）{v_2}^2\\=0.1+0.05=0.15J\\.\end{array}$
答：（1）第一个小球与槽碰撞后的共同速度大小为1m/s，方向水平向左．
（2）第二个小球与槽碰撞后的共同速度大小为0.5m/s，方向水平向右．
（3）整个运动过程中，槽与桌面间因摩擦而产生的热量为0.15J

点评 木题考查动量守恒定律及功能关系的综合应用，在解题时要注意各过程中守恒的量，从而得出守恒关系进行解题．