Question

如图所示，在xoy平面内，y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；在0＜x＜L区域内，x轴上、下方有相反方向的匀强电场，电场强度大小均为2E；在x＞L的区域内有垂直于xoy平面的匀强磁场，磁感应强度大小不变、方向做周期性变化．一电荷量为q、质量为m的带正电粒子（粒子重力不计），由坐标为（-L，

L

2

）的A点静止释放．
（1）求粒子第一次通过y轴时速度大小；
（2）求粒子第一次射入磁场时的位置坐标及速度；
（3）现控制磁场方向的变化周期和释放粒子的时刻，实现粒子能沿一定轨道做往复运动，求磁场的磁感应强度B大小取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于粒子从A点到y轴的过程，运用动能定理求解粒子第一次通过y轴时速度大小；
（2）进入0＜x＜L区域间偏转电场时作类平抛运动，由运动的分解法，求出偏转的距离，确定第一次射入磁场时的位置坐标．由速度的合成求出粒子第一次射入磁场时的速度．
（3）在磁场中，粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，求出轨迹半径表达式．要实现粒子能沿一定轨道做往复运动，粒子的运动轨迹关于x轴必须对称，根据对称性和几何关系得到轨迹半径的最小值，求得B的最大值，从而求得磁场的磁感应强度B大小取值范围．

解答：解：（1）粒子从A点到y轴的过程，根据动能定理得：qEL=

1

2

m

v

2 0

-0
得：v0=

2qEL m

（2）进入0＜x＜L区域间偏转电场作类平抛运动，则得：
  L=v₀t，
  △y=

1

2

×

q×2E

m

t2，
  vy=

2qE

m

t
解得：△y=

1

2

L，v_y=v₀
所以第一次射入磁场时的位置坐标为（L，L）；    
速度大小：v=

v 2 0 + v 2 y

=

4qEL m

，方向与x轴正方向成45°角斜向上．
（3）在磁场中，粒子做匀速圆周运动，根据向心力公式有：
    qvB=

mv2

R

轨道半径：R=

mv

qB

由对称性可知，射出磁场后必须在x轴下方的电场中运动，才能实现粒子沿一定轨道做往复运动，如图所示．       
当CC₁=

L

2

+

L

2

+

L

2

=

3L

2

时，轨道半径R最小，对应的磁感应强度B最大，粒子紧贴x轴进入y轴左侧的电场．
由几何关系得 R2+R2=C

C

2 1

得最小半径：R=

3 2

4

L，
磁感应强度的最大值：Bmax=

mv

qR

=

4 2mEqL

3qL

磁感应强度大小取值范围为：0＜B＜

4 2mEqL

3qL

答：（1）粒子第一次通过y轴时速度大小为

2qEL m

；
（2）粒子第一次射入磁场时的位置坐标为（L，L），速度为

4qEL m

；
（3）磁场的磁感应强度B大小取值范围为0＜B＜

4 2mEqL

3qL

．

点评：对于类平抛运动，关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；
对于粒子在磁场中运动过程，解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要画出准确的圆轨迹图分析才能有助与问题的解决．