Question

如图所示，用长为L的细线一端系住质量为m的小球，另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5L，过E作水平线EF，在EF上可以钉铁钉D，现将细线水平拉直，然后小球由静止释放。不计一切摩擦，不计线与钉子碰撞时的能量损失,求：

（1）若无铁钉D，小球运动到最低点B时细线的拉力T_B=?

（2）若钉上铁钉D且线拉力足够大，使小球恰能绕钉子在竖直面内做完整圆周运动，则钉子D 与点E 距离DE=？

（3）钉铁钉D后，若线能承受的最大拉力是9mg，小球能绕钉子在竖直面内做完整圆周运动，ED取值范围是多少？

Answer 1

 这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题．题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（r是做圆周运动的半径）．设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x₁，则：AD=

悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r₁=l－AD= l－……①（2分）

(1)  取B点E_P=0

T_B-mg=m

mgL=mv²

则T_B=3mg

（1）设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x₂，如图，则：AG=

r₂=l－AG= l－…………………………⑥（1分）

在最高点：mg≤……………………………⑦（1分）

由机械能守恒定律得：mg (r₂)=mv₂²…………⑧（1分）

由④⑤⑥联立得：x₂≥l…………………………⑨（2分）

（2）当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：

F－mg=…………………………………………②（1分）

结合F≤9mg可得：≤8mg……………………③（1分）

由机械能守恒定律得：mg (+r₁)=mv₁²

即：v²=2g(+r₁) ………………………………④（1分）

由①②③式联立解得：x₁≤l…………………⑤（2分）

随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．

在水平线上EF上钉子的位置范围是：l≤x≤l（2分）