Question

16．小轿车以20m/s的速度在平直公路上匀速行驶，司机突然发现正前方有个收费站，经20s后司机才刹车使车匀减速恰停在缴费窗口，缴费后匀加速到20m/s后继续匀速前行．已知小轿车刹车时的加速度为2m/s²，停车缴费所用时间为30s，启动时加速度为1m/s²．
（1）司机是在离收费窗口多远处发现收费站的．
（2）若一小轿车以20m/s的速度行驶，司机不小心走错了收费通道，走到了货车收费通道且无法临时变道，小轿车刹车的同时，货车立即以加速度为0.5m/s²启动，则小轿车应在离收费站至少为多少距离开始刹车才能避免两车相碰，（注：前方只有一辆货车停在收费站口处，货车可视为质点）
（3）因国庆放假期间，全国高速路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求轿车通过收费窗口前9m区间速度不超过6m/s，则国庆期间该小轿车应离收费窗口多远处开始刹车？因不停车通过最多可以节约多少时间？（注：节约时间应理解为从匀速运动再次到匀速运动节约的时间）

Answer 1

分析 （1）根据速度时间公式求出匀减速运动的时间，从而得出匀速运动的时间，结合匀减速运动的位移和匀速运动的位移得出司机发现收费站时距离收费窗口的距离．
（2）根据速度时间公式求出速度相等经历的时间，结合位移公式求出小轿车和货车的位移，从而得出小轿车应在离收费站至少距离．
（3）根据速度位移公式求出轿车速度减为6m/s时的距离，从而求出离收费窗口刹车的距离．分别求出停车收费和不停车收费整个过程中的时间，从而求出节约的时间，注意两种过程的总位移需相等．

解答 解：（1）小轿车匀减速运动的时间${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{a}=\frac{20}{2}s=10s$，匀减速运动的位移${x}_{1}=\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{20}{2}×10m=100m$，
可知轿车匀速运动的时间t₂=20-t₁=10s，则匀速运动的位移x₂=v₁t₂=20×10m=200m，
解得x=x₁+x₂=100+200m=300m．
（2）根据速度时间公式得，v₁-at=a′t，解得t=$\frac{{v}_{1}}{a+a′}=\frac{20}{2+0.5}s=8s$，
此时小轿车的位移${x}_{1}′={v}_{1}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}=20×8-\frac{1}{2}×2×64m$=96m，货车的位移${x}_{2}′=\frac{1}{2}a′{t}^{2}=\frac{1}{2}×0.5×64m=16m$，
解得△x=x₁′-x₂′=96-16m=80m．
（3）根据${{v}_{1}}^{2}-v{′}^{2}=2ax′$得，$x′=\frac{400-36}{2×2}=91m$，
国庆期间该小轿车应离收费窗口的距离x″=x′+9m=100m．
匀减速运动的时间${t}_{1}′=\frac{{v}_{1}-v′}{a}=\frac{20-6}{2}s=7s$，匀加速运动的时间${t}_{2}′=\frac{v-v′}{a′}=\frac{20-6}{1}s=14s$，匀速运动时间${t}_{3}′=\frac{9}{6}s=1.5s$，
匀加速运动的位移${x}_{2}″=\frac{{v}_{1}+v′}{2}{t}_{2}′=\frac{20+6}{2}×14$m=182m，
若停车收费，加速的位移${x}_{4}=\frac{{v}^{2}}{2a′}=\frac{400}{2}m=200m$，加速的时间${t}_{4}=\frac{v}{a′}=\frac{20}{1}s=20s$，
不停车收费，以20m/s速度运行的时间${t}_{5}=\frac{{x}_{1}+{x}_{4}-x′-{x}_{2}″-9}{{v}_{1}}$=$\frac{100+200-91-182-9}{20}s$=0.9s，
则节约的时间△t=t₁+t₄+30-t₁′-t₂′-t₃′-t₅s=10+20+30-7-14-1.5-0.9s=36.6s．
答：（1）司机是在离收费窗口300m处发现收费站的；
（2）小轿车应在离收费站至少为80m距离开始刹车才能避免两车相碰；
（3）国庆期间该小轿车应离收费窗口100m远处开始刹车，因不停车通过最多可以节约36.6s．

点评 此题运动的过程复杂，轿车经历减速、匀速、加速，加速度、位移、时间等都不一样．分析这样的问题时，要能在草稿子上画一画运动的过程图，找出空间关系，有助于解题．此题有一定的难度，是一道好题．