Question

18．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h，汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的$\frac{3}{5}$．如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？事实上，在高速公路的拐弯处路面造得外高内低，路面与水平面间的夹角为θ，且tan θ=0.2；而拐弯路段的圆弧半径R=200m．若要使车轮与路面之间的侧向摩擦力等于零，则车速v应为多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 汽车在水平路面上转弯时，靠静摩擦力提供向心力，拐弯时不产生横向滑动，汽车所需要的向心力不超过最大静摩擦力，根据牛顿第二定律求出最小半径．
在高速公路的拐弯处路面造得外高内低时，要使车轮与路面之间的侧向摩擦力等于零，汽车靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，再根据牛顿第二定律求解v．

解答 解：已知v₀=108 km/h=30 m/s
由题意可知：汽车在水平路面上转弯时，当静摩擦力最大时，汽车拐弯的半径最小，即
  f_m=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{小}}$
所以最小半径 r_小=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{f}_{m}}$=$\frac{m×3{0}^{2}}{0.6mg}$=150 m
由题意可知：汽车在高速路上拐弯时的向心力由重力和支持力的合力提供，则有
  F_n=mgtan θ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 v=$\sqrt{gRtanθ}$=$\sqrt{10×200×0.2}$ m/s=20 m/s
答：假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是150m．要使车轮与路面之间的侧向摩擦力等于零，则车速v应为20 m/s．

点评 解决本题的关键知道汽车在水平路面上拐弯靠静摩擦力提供圆周运动的向心力，汽车在高速路上拐弯时，恰好靠重力和支持力的合力提供向心力．