Question

16．如图所示，一条轻绳跨过同一高度上的两个轻质定滑轮，两端分别挂有质量为m₁=4kg和m₂=2kg的物体A和B，在定滑轮之间的一段绳上悬挂第三个物体C，O为连结点，不计滑轮的大小和摩擦，为使三个物体保持平衡，物体C的质量M应取何值？

Answer 1

分析 C物体处于平衡状态，受力平衡，对C受力分析，根据力的平衡列出等式，式子中变量较多，我们从消元开始解题，由两式变形可以消去θ₂，把要求的变量用含有θ₁的式子表达，根据三角函数的特点，得到结果．

解答 解：系统保持平衡时，设F₁与竖直方向的夹角为θ₁，F₂与竖直方向的夹角为θ₂，则根据平衡条件，有：
4gsinθ₁=2gsinθ₂…①
4gcosθ₁+2gcosθ₂=Mg…②
由①式和②式消去θ₂，得：
M²-8Mcosθ₁+12=0，
即M=4cosθ₁±2$\sqrt{4cos{2θ}_{1}-3}$…③
因为cosθ₂＞0，所以由②式知，Mg＞4gcosθ₁，故③式中M=4cosθ₁-2$\sqrt{4cos{2θ}_{1}-3}$不合题意，舍去．
又由于△=4cos²θ₁-3≥0，
解得 $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤cosθ₁≤1．
经检验，当cosθ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，cosθ₂=0，不合题意，舍去．
所以2$\sqrt{3}$kg＜M＜6kg．
所求物体的质量在2$\sqrt{3}$kg到6kg之间变动时，系统可保持平衡．
答：为使三个物体保持平衡，物体C的质量M的范围为2$\sqrt{3}$kg＜M＜6kg．

点评 本题也可以采用极值法，绳子的连接点三力平衡，其中重力方向竖直，两个拉力的大小恒定，故要确定拉力合力范围，但要考虑实际情况：①当θ₁与θ₂趋向于零时，m取最大值；②当较小的力趋向水平时，m取最小值．