Question

3．质量为m的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示，已知小球以速度v通过最高点时对圆管的外壁的压力大小恰好为mg，试计算：
（1）圆管的半径为多大？
（2）小球以$\frac{v}{2}$通过最高点时对圆管壁的压力．

Answer 1

分析 （1）以小球为研究对象，小球通过最高点时，由重力与管壁上部对小球压力的合力，根据牛顿第二定律列式求解半径；
（2）当小球以速度$\frac{v}{2}$通过圆管的最高点，再根据牛顿第二定律列式即可求解．

解答 解：（1）以小球为研究对象，小球通过最高点C时，根据牛顿第二定律得
mg+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{{v}^{2}}{2g}$
（2）当小球以速度$\frac{v}{2}$通过圆管的最高点，根据牛顿第二定律得：
mg+N=m$\frac{{（\frac{v}{2}）}^{2}}{r}$
解得：
N=-$\frac{mg}{2}$，负号表示圆管对小球的作用力向上，即小球对圆管的内壁压力等于$\frac{mg}{2}$．
答：（1）圆管的半径为$\frac{{v}^{2}}{2g}$
（2）小球以$\frac{v}{2}$通过最高点时对圆管的内壁压力等于$\frac{mg}{2}$．

点评 本题是牛顿第二定律的直接应用．对于圆周运动，分析受力情况，确定向心力的来源是关键，难度不大，属于基础题．