Question

3．某一艘宇宙飞船，以速度v贴近行星表面做匀速圆周运动，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，不考虑行星的自转，则（　　）

• A． 飞船的速度v大于该行星的第一宇宙速度
• B． 该行星的半径为$\frac{vT}{π}$
• C． 无法测出该行星的质量
• D． 该行星表面的重力加速度为$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 近地飞行的飞船轨道半径等于行星的轨道半径，根据万有引力提供圆周运动的向心力可以求出行星的质量，该行星表面的重力加速度即为近地飞行飞船的向心加速度．

解答 解：A、飞船贴近星球表面飞行时的速度该行星的第一宇宙速度，故A错误；
B、根据圆周运动的周期与线速度的关系有$T=\frac{2πr}{v}$，所以该行星的半径r=$\frac{vT}{2π}$，故B错误；
C、由$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
得星球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
代入B中$r=\frac{vT}{2π}$可得该行星的质量为：M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$，故C错误；
D、该星球表面自由落体加速度即为近地飞船的向心加速度，所以有：$a=\frac{{v}^{2}}{r}=\frac{{v}^{2}}{\frac{vT}{2π}}=\frac{2πv}{T}$，故D正确．
故选：D．

点评 掌握近地飞行的航天器由万有引力提供向心力，能据此计算中心天体的质量是解决本题的关键．