Question

2．如图所示，Y和Y′是真空中一对水平放置的平行金属板，板间距离为d，板长为L，两板间电势差为U，板间电场可视为匀强电场．现有一电荷量为+q、质量为m的带电粒子，以水平初速度v₀射入板间．已知该粒子能射出金属板，求：
（1）若不计粒子重力，带电粒子射出金属板时速度v的大小；
（2）若不计粒子重力，在带电粒子通过平行金属板的过程中，电场力所做的功W．
（3）极板间既有电场也有重力场．电势反映了静电场各点的能的性质，请写出电势φ的定义式．类比电势的定义方法，在重力场中建立“重力势”的φ_G概念．

Answer 1

分析 （1）粒子做类平抛运动，水平方向匀速，竖直方向匀加速，故可求得速度；
（2）利用动能定理求的电场力做功；
（3）电势是电荷在某点的电势能与电荷量的比值，由此分析重力势的定义式．

解答 解：（1）金属板间匀强电场的场强E=$\frac{U}{d}$，
在平行于金属板的方向，带电粒子以速度v₀做匀速直线运动的时间：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
在垂直于金属板的方向，带电粒子做初速度为零的匀加速运动．
根据牛顿第二定律，粒子的加速度a=$\frac{qE}{m}$，
所以粒子射出金属板时，在垂直金属板方向的分速度${v}_{⊥}=at=\frac{qUL}{md{v}_{0}}$，
所以带电粒子射出金属板时速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{⊥}^{2}}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{U}^{2}{q}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}{d}^{2}{v}_{0}^{2}}}$；
（2）根据动能理可求得，在此过程中电场力所做的功为：
W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{{U}^{2}{q}^{2}{L}^{2}}{2m{d}^{2}{v}_{0}^{2}}$；
（3）电场中，电势的定义为电势能与电荷量的比值，即：$φ=\frac{{E}_{P}}{q}$，
根据电势的定义可以这样定义重力势：物体在某点的重力势能与质量的比值，即：${φ}_{G}=\frac{{E}_{P}}{m}$．
答：（1）带电粒子射出金属板时速度v的大小$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{{U}^{2}{q}^{2}{L}^{2}}{{m}^{2}{d}^{2}{v}_{0}^{2}}}$；
（2）在带电粒子通过平行金属板的过程中，电场力所做的功为$\frac{{U}^{2}{q}^{2}{L}^{2}}{2m{d}^{2}{v}_{0}^{2}}$；
（3）电势φ的定义式为$φ=\frac{E_P}{q}$，在重力场中建立“重力势”${φ_G}=\frac{E_P}{m}$．

点评 带电粒子在电场中的运动，若垂直电场线进入则做类平抛运动，要将运动分解为沿电场线和垂直于电场线两个方向进行分析，利用直线运动的规律进行求解．