Question

11．如图甲所示，直角坐标系xoy的第二象限有一半径为R=a的圆形区域，圆形区域的圆心O₁坐标为（-a，a），与坐标轴分别相切于P点和N点，整个圆形区域内分布有磁感应强度大小为B的匀强磁场，其方向垂直纸面向里（图中未画出）．带电粒子以相同的速度在纸面内从P点进入圆形磁场区域，速度方向与x轴负方向成θ角，当粒子经过y轴上的M点时，速度方向沿x轴正方向，已知M点坐标为（0，$\frac{4a}{3}$）．带电粒子质量为m、带电量为-q．忽略带电粒子间的相互作用力，不计带电粒子的重力，求：

（1）带电粒子速度v大小和cosθ值；
（2）若带电粒子从M点射入第一象限，第一象限分布着垂直纸面向里的匀强磁场，已知带电粒子在该磁场的一直作用下经过了x轴上的Q点，Q点坐标为（a，0），该磁场的磁感应强度B′大小为多大？
（3）若第一象限只在y轴与直线x=a之间的整个区域内有匀强磁场，磁感应强度大小仍为B．方向垂直纸面，磁感应强度B随时间t变化（B-t图）的规律如图乙所示，已知在t=0时刻磁感应强度方向垂直纸面向外，此时某带电粒子刚好从M点射入第一象限，最终从直线x=a边界上的K点（图中未画出）穿出磁场，穿出磁场时其速度方向沿x轴正方向（该粒子始终只在第一象限内运动），则K点到x轴最大距离为多少？要达到此最大距离，图乙中的T值为多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在圆形磁场区域中做圆周运动，确定出圆心和半径，由洛伦兹力等于向心力，列式求得v的大小．由几何关系求解cosθ值；
（2）带电粒子以平行于x轴正方向的速度从M点进入磁场区域中做圆周运动，根据几何知识求出轨迹半径，即可由牛顿第二定律求解B．
（3）画出粒子运动的轨迹，由几何知识求解K点到x轴最大距离．根据轨迹的圆心角求解图乙中的T值．

解答 解：（1）带电粒子在圆形磁场区域中做圆周运动的圆心为O₂，离开圆形磁场区域时的位置为H，连接PO₁HO₂可知，该四边形为菱形，带电粒子做圆周运动的半径：r=a，
由于qvB=m $\frac{v^2}{r}$，得：v=$\frac{qBa}{m}$；
由于PO₁在竖直方向，半径HO₂也为竖直方向，由图可知：
r+rcosθ=$\frac{4}{3}$a，
解得：cosθ=$\frac{1}{3}$；
（2）由图可知，带电粒子以平行于x轴正方向的速度从M点进入磁场区域中做圆周运动，设半径为r₃，由几何关系有：
tanβ=$\frac{a}{{\frac{4}{3}a}}$=$\frac{3}{4}$，β=37°，
则：cosβ=$\frac{{\frac{1}{2}MQ}}{r_3}$=$\frac{{\frac{5}{6}a}}{r_3}$，得：r₃=$\frac{25}{24}$a；
而r₃=$\frac{mv}{qB′}$，得：B′=$\frac{24}{25}$B；
（3）由图知：圆O₄与直线x=a相切于C点，圆O₅与y轴相切于D点，两圆弧相切于E点，带电粒子运动到K点时离x轴距离最大，

O₄ O₅=2r=2a
cos∅=$\frac{1}{2}$，∅=60°
最大距离KQ=$\frac{4a}{3}$+3r+2rsinΦ=（ $\frac{10}{3}$+$\sqrt{3}$）a
带电粒子运动周期T₀=$\frac{2πm}{qB}$
由 $\frac{1}{2}$T=$\frac{150°}{360°}$×T₀
解得 T=$\frac{5πm}{3qB}$；
答：（1）带电粒子速度v大小为$\frac{qBa}{m}$，cosθ值是 $\frac{1}{3}$；
（2）该磁场的磁感应强度B′大小为 $\frac{24}{25}$B；
（3）K点到x轴最大距离为（ $\frac{10}{3}$+$\sqrt{3}$）a，要达到此最大距离，图乙中的T值为 $\frac{5πm}{3qB}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动规律，画出临界轨迹，结合牛顿第二定律和几何关系分析解答．