Question

3．教室里有同学利用磁性黑板玩游戏，现将游戏简化如图所示，黑板高为H，可视为质点的小磁铁质量为m，以速度v竖直向上抛出，小磁铁与黑板正对时，受到的吸引力可近似为恒力F，方向指向黑板，抛出点与黑板下沿等高且水平距离为L，若磁铁在上升过程中恰好被吸在黑板的上沿（设磁铁碰到黑板即被吸住，不考虑反弹），F、H、m及重力加速度g为已知量，问：
（1）请写出抛出速度v与水平距离L的关系式；
（2）L取多大时有最小的抛出速度v₀，最小的速度v₀为多少？

Answer 1

分析 小磁铁在竖直方向做竖直上抛运动，在水平方向做匀加速直线运动；由运动的合成与分解规律可明确初速度与L的关系；再由数学规律可求得最小速度．

解答 解：（1）小球水平方向的加速度a=$\frac{F}{m}$；
由运动学公式可得：L=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{F}{m}{t}^{2}$
解得：t=$\sqrt{\frac{2mL}{F}}$；
竖直方向做减速运动，加速度为-g；
则有：
H=v₀t-$\frac{1}{2}$gt²=v₀$\sqrt{\frac{2mL}{F}}$-$\frac{1}{2}$g（$\sqrt{\frac{2mL}{F}}$）²；
解得v₀=$\frac{2H+g（\sqrt{\frac{2mL}{F}}）^{2}}{\sqrt{\frac{2mL}{F}}}$=$\frac{2H}{\sqrt{\frac{2mL}{F}}}$+g$\sqrt{\frac{2mL}{F}}$
（2）由数学规律均值不等式可得：
当$\frac{2H}{\sqrt{\frac{2mL}{F}}}$=g$\sqrt{\frac{2mL}{F}}$时速度取最小值；
即当L=$\frac{FH}{mg}$时，v₀最小，最小值为：2$\sqrt{2gH}$
答：（1）出速度v与水平距离L的关系式为v₀=$\frac{2H}{\sqrt{\frac{2mL}{F}}}$+g$\sqrt{\frac{2mL}{F}}$
（2）L取$\frac{FH}{mg}$时，v₀最小；最小的速度v₀为2$\sqrt{2gH}$

点评 本题考查运动的合成与分解的应用，难点在于函数关系的正确应用，要掌握应用数学规律解决物理问题的方法．