Question

7．顶端开口底端封闭、足够长的光滑水平玻璃管内，其底端固定一原长为L、劲度系数为k的轻弹簧，弹簧另一端连着质量为m的小球，如图所示．现使玻璃管绕其底端缓慢旋转，直至玻璃管竖直向上，在此过程中，下列情况可能的是（　　）

• A． 小球到原水平面的距离不断增大
• B． 小球到原水平面的距离不断减小
• C． 小球到原水平面的距离先增大后减小
• D． 小球到原水平面的距离先减小后增大

Answer 1

分析 使玻璃管绕其底端缓慢旋转，直至玻璃管竖直向上，小球始终处于平衡状态，抓住小球重力沿斜面方向上的分力与弹簧弹力大小相等，得出形变量的变化，从而得出小球到原水平面的距离的关系式，通过关系式判断其变化．

解答 解：设玻璃管转过的角度为θ，则有 mgsinθ=kx
则得，弹簧的压缩量 x=$\frac{mgsinθ}{k}$．
小球到原水平面的距离 h=（L-x）sinθ=（L-$\frac{mgsinθ}{k}$）sinθ=-$\frac{mg}{k}$（sinθ-$\frac{kL}{2mg}$）²+$\frac{k{L}^{2}}{4mg}$．因为sinθ＜1．
所以当弹簧原长L一定，则球的质量m足够大时，$\frac{kL}{2mg}$＜1，则h先增大后减小．
当球的质量m一定，则弹簧的长度L足够小时，$\frac{kL}{2mg}$＜1，则h先增大后减小．故C正确，A、B、D错误．
故选：C

点评 本题对数学能力的要求较高，通过二次函数的方法并对sinθ的讨论得出高度的变化，是常用的函数法．