Question

20．传送带在我们日常生活中起到了很多用处，例如在机场领取行李的地方、在把货物运送到高处等，都会用到传送带．如图所示，一个斜面型的传送带系统，正在以4m/s的恒定速率顺时针运行．已知传送带与水平方向的夹角θ=37°，总长度AB=50m，现将一个质量m=2kg可以看成质点的物块轻放在传送带的正中间，物块与传送带间的摩擦因μ=0.5，问：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）物块轻放上传送带瞬间受到的摩擦力方向；
（2）物块最终被传送到A端还是B端？物块在传送带上运行的时间是多少？
（3）若传送带改为逆时针运行，速率变为10m/s，从物块轻放在传送带正中间到它离开传送带的过程中因摩擦产生的热量是多少？若物块上面粘有墨汁，传送带表面为白色，求在这个过程中留在传送带上的墨汁痕迹的长度．

Answer 1

分析 （1）物块放上传送带瞬间，物块相对于传送带向下运动，判断摩擦力方向
（2）当物体的速度小于传送带的速度时，向下加速运动，由于重力沿斜面的分力大于摩擦力，故当达到共同速度后物体在传送带上继续做加速运动，利用牛顿第二定律和运动学公式及可求得时间；
（3）求出两个加速阶段物体与传送带的相对位移即可求得痕迹长度，根据$Q=f{s}_{相对}^{\;}$求热量．

解答 解：（1）物体轻放上传送带，物体相对于传送带向下运动，受到的摩擦力沿传送带向上
（2）因为tanθ＞μ，即mgsinθ＞μmgcosθ，物块最终被传送到A端，根据牛顿第二定律有：
mgsin37°-μmgcos37°=ma
得：$a=gsin37°-μgcos37°=2m/{s}_{\;}^{2}$
根据$x=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$得：$\frac{50}{2}=\frac{1}{2}×2×{t}_{\;}^{2}$
解得：t=5s
（3）传送带改为逆时针运行，物块轻放到传送带上相对于传送带向上运动，受到的滑动摩擦力沿传送带向下，根据牛顿第二定律有：
mgsin37°+μmgcos37°=ma′
解得：$a′=10m/{s}_{\;}^{2}$
设经过时间t′速度相等，则有：v=a′t′
解得：t′=1s
此过程中传送带的位移为：${x}_{1}^{\;}=vt′=10×1=10m$
物块的位移为：${x}_{2}^{\;}=\frac{v}{2}t′=\frac{10}{2}×1=5m$
物块相对于传送带向上运动，相对位移为：
$△x={x}_{1}^{\;}-{x}_{2}^{\;}=5m$
摩擦力产生的热量为：${Q}_{1}^{\;}=f△{x}_{1}^{\;}=μmgcos37°•△{x}_{\;}^{\;}=40J$
速度相等后，物块继续做匀加速运动，加速度为：$a″=2m/{s}_{\;}^{2}$
$\frac{AB}{2}-{x}_{2}^{\;}=vt″+\frac{1}{2}a″t{″}_{\;}^{2}$
代入数据得：$t″=3\sqrt{5}-5≈1.7s$
传送带的位移为：${x}_{3}^{\;}=vt″=10×1.7=17m$
物块的位移为：${x}_{4}^{\;}=\frac{AB}{2}-{x}_{2}^{\;}=20m$
物块相对于传送带的位移为：$△x′={x}_{4}^{\;}-{x}_{3}^{\;}=3m$
摩擦力产生的热量为：${Q}_{2}^{\;}=μmgcos37°•△x′=24J$
摩擦力产生的总热量为：$Q={Q}_{1}^{\;}+{Q}_{2}^{\;}=64J$
传送带上墨汁的痕迹长度为：△x-△x′=2m
答：（1）物块轻放上传送带瞬间受到的摩擦力方向向上；
（2）物块最终被传送到A端还是B端，物块在传送带上运行的时间是5s
（3）若传送带改为逆时针运行，速率变为10m/s，从物块轻放在传送带正中间到它离开传送带的过程中因摩擦产生的热量是64J，若物块上面粘有墨汁，传送带表面为白色，在这个过程中留在传送带上的墨汁痕迹的长度2m．

点评 本题关键根据牛顿第二定律求出加速度，结合运动学规律确定滑块的运动情况，最后根据功能关系列式求解热量