Question

17．两个行星的质量分别为m₁ m₂，绕太阳运行的轨道半径为r₁、r₂，若他们只受太阳的引力作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$，周期之比为$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{3}}}$．

Answer 1

分析 行星绕太阳圆周运动的向心力由万有引力提供，根据半径关系求得向心加速度和周期之比．

解答 解：万有引力提供行星圆周运动的向心力即：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得行星的向心加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，所以$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{2}$=$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$
行星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，所以$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{3}}}$
故答案为：$\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}$，$\sqrt{\frac{{r}_{1}^{2}}{{r}_{2}^{3}}}$．

点评 行星绕太阳圆周运动的向心力由万有引力提供，熟练掌握万有引力公式及向心力的不同表达式是正确解题的关键．