Question

【题目】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者的连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示，引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．

（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2 ． 试求m′（用m1、m2表示）
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，其为ω．

由牛顿运动定律，

对A：FA=m1ω2r1 对B：FB=m2ω2r2 FA=FB

设A、B之间的距离为r又r=r1+r2，由上述各式得r= ①

由万有引力定律，有FA=G

将①代入得

令

比较可得m′= ②

（2）

解：根据题意，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体对它的引力，由牛顿第二定律，有 ③

得 m′= ④

又可见星A的线速度大小v= ⑤

由④⑤得，m′=

由②⑤可得

【解析】双星系统构成的条件是双星的角速度相同，依靠它们之间的万有引力提供各自的向心力．由于两星球的加速度不同，必须采用隔离法运用牛顿定律分别对两星球研究，并通过数学变形求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解万有引力定律及其应用的相关知识，掌握应用万有引力定律分析天体的运动：把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即 F引=F向；应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算.②天体质量M、密度ρ的估算，以及对向心力的理解，了解向心力总是指向圆心，产生向心加速度，向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小；向心力是根据力的效果命名的.在分析做圆周运动的质点受力情况时，千万不可在物体受力之外再添加一个向心力．