Question

10．如图所示，固定于一条竖直线上的A、B两个点电荷，电荷量分别为+Q和-Q，D点是AB的中点，直线CD是它们连线的垂直平分线，A、B、C三点构成一边长为d的等边三角形，另有一个带电小球E，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷），被长为L的绝缘轻质细线悬挂于O点，C点在O点的正下方．现在把小球 E拉起到M点，使细线水平绷直且与A、B、C处于同一竖直面内，并由静止开始释放，取无穷远处的电势为零时，M的电势φ，已知静电力常量为k，求：
（1）小球E运动到最低点C时的速度．
（2）小球E从M点到最低点C的过程中，机械能如何变化？变化多少？
（3）绝缘细线在C点所受到的拉力T．

Answer 1

分析 （1）小球向下运动的过程中重力和电场力做功，由动能定理可求得小球E运动到最低点C时的速度；
（2）小球E从M点到最低点C的过程中，电场力做正功，机械能增大，由功能关系即可求出机械能的变化量；
（3）由电场强度可求得电场力，由力的合成可求得电场力的合力的大小，而小球做圆周运动，故由牛顿第二定律可求得细绳对小球的拉力T，再由牛顿第三定律可求得小球对细线的拉力大小．

解答 解：（1）由题可知，C在AB连线的中垂线上，所以C点的电势与无穷远处的电势相等，等于0．U_Mc=φ-0=φ．C点的电场强度的方向竖直向下．
电荷E从M点运动到C的过程中，电场力做正功，重力做正功．根据动能定理qU_Mc+mgL=$\frac{m{v}^{2}}{2}$ 
联立得：$v=\sqrt{\frac{2（qφ+mgL）}{m}}$
（2）M、C两点的电势差为 U_MC=φ
所以M到C的过程中电场力做功为W=qφ，所以小球的机械能的增加量为qφ；
（3）在C点时A对小球E的电场力F₁与B对小球E的电场力F₂相等，且为
F₁=F₂=$\frac{kQq}{{d}^{2}}$
又，A、B、C为一等边三角形，所以F₁、F₂的夹角为120°，故F₁、F₂的合力为
F₁₂=$\frac{kQq}{{d}^{2}}$，且方向竖直向下．
由牛顿运动定律得    T-k$\frac{Qq}{d^2}-mg$=$\frac{m{v}^{2}}{L}$
解得    T=k$\frac{Qq}{d^2}+mg$+$\frac{2（qφ+mgL）}{L}$=$\frac{kQq}{{d}^{2}}+3mg+\frac{2qφ}{L}$  方向向上
根据牛顿第三定律，小球E对细线的拉力大小等于$\frac{kQq}{{d}^{2}}+3mg+\frac{2qφ}{L}$方向向下
答：（1）小球E运动到最低点C时的速度是$\sqrt{\frac{2（qφ+mgL）}{m}}$．
（2）小球E从M点到最低点C的过程中，机械能增大，增加qφ；
（3）绝缘细线在C点所受到的拉力T是$\frac{kQq}{{d}^{2}}+3mg+\frac{2qφ}{L}$，方向向下．

点评 本题考查电场中力与能的性质，要注意小球在拉力、重力及库仑力的作用下做圆周运动，故应明确合力充当了向心力．