Question

16．2008年春节前后，我国南方大部分省区遭遇了罕见的雪灾，此次灾害过程造成17个省（区、市、兵团）不同程度受灾．尤其是雪灾天气造成输电线被厚厚的冰层包裹（如图甲），使相邻两个铁塔间的拉力大大增加，导致铁塔被拉倒、压塌（如图乙），电力设施被严重损毁，给这些地方群众的生产生活造成了极大不便和巨大损失．
当若干相同铁塔等高、等距时，可将之视为如图丙所示的结构模型．已知铁塔（左右对称）质量为m，塔基宽度为d．相邻铁塔间输电线的长度为L，其单位长度的质量为m₀，输电线顶端的切线与竖直方向成θ角．已知冰的密度为ρ，设冰层均匀包裹输电线上，且冰层的横截面为圆形，其半径为R（输电线的半径可忽略）．
（1）每个铁塔塔尖所受的压力将比原来增大多少？
（2）被冰层包裹后，输电线在最高点、最低点所受的拉力大小分别为多少？
（3）若某铁塔一侧的输电线在顶端断裂，该铁塔由于受力不对称，会造成该塔以塔基另一侧与地面的接触点为轴旋转翻倒．已知地面对塔基的最大拉力为F（该力可简化为作用点位于塔基中心、方向竖直向下的拉力），设铁塔包裹冰前后的质量之比与输电线包裹冰前后的质量之比相同，要使铁塔不致翻倒，输电线上包裹的冰层半径R的最大值R_max为多少？

Answer 1

分析 （1）塔尖受到的压力来自于左右两边的各一半导线上的重力，即为一根导线上的增加的重力；
（2）分别对导线最高点及最低点受力分析，由共点力的平衡可得出导线受到的拉力，注意在最高点时选取整根导线分析，而最低点时只选取一半导线进行分析；
（3）根据力矩平衡条件列式求解即可．

解答 解：（1）输电线线冰层的体积V_冰=πR²L   
由对称关系可知，塔尖所受压力的增加值等于一根导线上冰层的重力，即
△N=ρV_冰g=πρR²Lg   
（2）输电线与冰层的总质量M'=m₀L+πρR²Lg，输电线受力如图甲所示．
由共点力的平衡条件，得2F₁cosθ=m₀Lg+πρR²Lg   
输电线在最高点所受的拉力${F}_{1}=\frac{{m}_{0}+πρ{R}^{2}}{2cosθ}$
半根输电线的受力如图乙所示．
由共点力的平衡条件，得F₂=F₁sinθ   
输电线在最低点所受的拉力${F}_{2}=\frac{{m}_{0}+πρ{R}^{2}}{2}Lg$
（3）设铁塔被冰包裹后的质量为m'，则$m′=\frac{{m}_{0}+πρ{R}^{2}}{{m}_{0}}$
铁塔即将翻倒时受力如图丙所示．
以塔基的最右端为转轴，R取最大值时：$（m′g+F）\frac{d}{2}={F}_{1}′sinθH$
又F₁′=F₁，联立各式，得${R}_{max}=\sqrt{\frac{（mg+F）d-{m}_{0}LgHtanθ}{πρg（LHtanθ-\frac{md}{{m}_{0}}）}}$
答：（1）每个铁塔塔尖所受的压力将比原来增大πρR²Lg；
（2）冰层包裹后，输电线在最高点的拉力为$\frac{{m}_{0}+πρ{R}^{2}}{2cosθ}$，最低点所受的拉力为$\frac{{m}_{0}+πρ{R}^{2}}{2}Lg$；
（3）输电线上包裹的冰层半径R的最大值为为$\sqrt{\frac{（mg+F）d-{m}_{0}LgHtanθ}{πρg（LHtanθ-\frac{md}{{m}_{0}}）}}$．

点评 本题考查学生在生活实际中应用物理规律的能力，本题要注意灵活选择研究对象进行受力分析，再应用共点力的平衡求解．