Question

5．如图所示，虚线OC与y轴的夹角θ=60°，在此角范围内有一方向垂直于xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场．虚线OC与x轴所夹范围内有一沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子a（不计重力）从y轴的点M（0，L）沿x轴的正方向射入磁场中．求：
（1）要使粒子a从OC边界离开磁场后竖直向下垂直进入匀强电场，经过匀强电场后从x轴上的P点（图中未画出）离开，则该粒子射入磁场的初速度v₁和OP的距离分别为多大？
（2）若大量粒子a同时以v₂=$\frac{\sqrt{3}qBL}{2m}$从M点沿xOy平面的各个方向射入磁场中，则从OC边界最先射出的粒子与最后射出的粒子的时间差．

Answer 1

分析 （1）根据粒子的始末速度方向作出粒子在磁场中的运动轨迹，求得粒子圆周运动的轨道半径，据洛伦兹力提供向心力求得粒子的初速度和OP的距离；
（2）根据几何关系确定粒子在磁场中运动的最大圆心角和最小圆心角，据t=$\frac{θ}{2π}T$求得粒子射出的时间差．

解答 解：（1）粒子a竖直向下穿过OC，在磁场中轨迹圆心如图为O₁，

OO₁=Rcotθ，OO₁=L-R
得粒子圆周运动的轨道半径R=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}L$    ①
由洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
$q{v}_{1}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$    ②
由①②两式解得：v₁=$\frac{（3-\sqrt{3}）qBL}{2m}$     ③
粒子a竖直向下穿过OC垂直进入匀强电场后，做类平抛运动，则有：
qE=ma
Rcotθ=v₁t
解处t=$\frac{\sqrt{3}m}{3qB}$
$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{Em}{6q{B}^{2}}$
OP=R+x=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}L+\frac{Em}{6q{B}^{2}}$
（2）由$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：${R}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：$T=\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{2}}=\frac{2πm}{qB}$
最后出磁场的粒子从OC边上的E点射出，弦ME最长为直径，ME=2R₂=$\sqrt{3}L$，在磁场中运动的时间为：${t}_{1}=\frac{1}{2}T=\frac{πm}{qB}$                      （11）
MF为垂直OC的一条弦，则MF为最短的弦，从F点射出的粒子运动时间最短，此时轨迹圆心为O₂，由三角形关系得：
$MF=Lsinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}L$，
sin$α=\frac{\frac{1}{2}MF}{{R}_{2}}=\frac{1}{2}$，
所以可得α=30°
此粒子的运动时间${t}_{2}=\frac{2α}{360°}T=\frac{πm}{3qB}$
时间差为△t=t₁-t₂=$\frac{2πm}{3qB}$
答：（1）要使粒子a从OC边界离开磁场后竖直向下垂直进入匀强电场，经过匀强电场后从x轴上的P点（图中未画出）离开，则该粒子射入磁场的初速度v₁为$\frac{（3-\sqrt{3}）qBL}{2m}$OP的距离为$\frac{3-\sqrt{3}}{2}L+\frac{Em}{6q{B}^{2}}$；
（2）若大量粒子a同时以v₂=$\frac{\sqrt{3}qBL}{2m}$从M点沿xOy平面的各个方向射入磁场中，则从OC边界最先射出的粒子与最后射出的粒子的时间差为$\frac{2πm}{3qB}$．

点评 本题考查了求粒子做圆周运到达周期、运动时间等问题，难度较大，尤其是计算最长时间时，对数学能量的要求太高；根据几何关系求出带电粒子在磁场中的偏转角有两个，要注意分别进行求解．