Question

3．如图所示，两平行竖直线MN、PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场（含边界PQ），磁感应强度为B，在MN上O点处有一粒子源，能射出质量为m，电量为q的带负电粒子，当速度方向与OM夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，不计粒子间的相互作用及重力．则（　　）

• A． 粒子的速率为$\frac{qBa}{m}$
• B． 粒子在磁场中运动的时间为$\frac{πm}{3qB}$
• C． 若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为2$\sqrt{3}$a
• D． 若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{3πm}{qB}$

Answer 1

分析 由几何关系求得半径及中心角，进而根据牛顿第二定律求得速率及周期，从而得到运动时间；根据θ的变化，得到运动轨迹的变化，进而得到出射点的范围，从而得到弦长的变化，求得最大弦长，即可得到最大中心角，从而得到运动的最长时间．

解答 解：A、当速度方向与OM夹角θ=60°时，粒子恰好垂直PQ方向射出磁场，则粒子做圆周运动的圆心在PQ上，如图所示，

所以，Rcosθ=a，则R=2a；
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力做向心力即$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{BqR}{m}=\frac{2Bqa}{m}$；故A错误；
B、粒子在磁场中做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}$，又有粒子在磁场中转过的中心角为90°-θ=30°，所以，运动时间$t=\frac{30°}{360°}T=\frac{πm}{6Bq}$，故B错误；
C、当θ=0时，
粒子在PQ边界上O′点上方$\sqrt{3}a$处射出；当θ增大时，出射点下移，直到粒子运动轨迹与PQ相切；当粒子运动轨迹与PQ相切时，相切点位于O′点下方$\sqrt{3}a$处；继续增大θ，粒子将从MN边界射出；故若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则PQ边界上有粒子射出的区间长度为2$\sqrt{3}$a，故C正确；
D、当粒子运动轨迹与PQ相切时，粒子在MN的出射点位于O点下方$2\sqrt{3}a$；若θ继续增大，则出射点沿MN边界上移，知道O点，故粒子在磁场中运动轨迹对应的最大弦长为$2\sqrt{3}a$，所以，对应的最大中心角为120°，那么，若只改变粒子速度方向，使θ角能在0°至180°间不断变化，则粒子在磁场中运动的最长时间为$\frac{1}{3}T$=$\frac{2πm}{3qB}$，故D错误；
故选：C．

点评 带电粒子在磁场中做圆周运动，一般根据几何关系求得半径，再利用牛顿第二定律求得速度、周期等相关问题．