Question

19．气体和液体都具有流动性，统称为流体．物体在流体中运动时，要受到流体的阻力，阻力的方向与物体相对于流体运动的方向相反．例如汽车、火车、飞机等在空气中运动，就要受到空气的阻力；快速骑自行车，我们会感到空气的阻力．鱼在水中游动，人在水中游泳，也都要受到水的阻力．
流体的阻力跟物体相对于流体的速度、物体的横截面积、物体的形状等都有关，为简化问题，可认为物体在流体中运动时所受阻力大小满足关系式：f=$\frac{1}{2}$cpAv²．其中C力常数，P为流体密度，A为物体横截面积，v为物体相对流体的速度．
现考察一滴从高空由静止开始下落的雨滴，设可将其视为半径是r的球体．己知重力加速度为g．空气密度为p₁，水的密度为p₂．空气中的常数C己知，不考虑空气相对地面的流动，球体积公式为V=$\frac{4}{3}$π•r²．
（1）试定性画出雨滴下落全程的v-t图象．
（2）设下落高度足够大．试计算雨滴落到地面的速度大小v_m．

Answer 1

分析 根据雨滴的受力，判断出加速度的变化，根据加速度方向与速度方向的关系判断出雨滴的运动．根据重力和阻力相等，求出雨滴落地时的速度大小．

解答 解：（1）雨滴向下运动的过程中，速度增大，阻力增大，则雨滴所受的合力减小，加速度减小，所以雨滴先做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零，做匀速直线运动．速度时间图线如图所示．

（2）因为下落高度足够大，所以最终mg=f
${ρ}_{2}^{\;}•\frac{4}{3}π{r}_{\;}^{3}=\frac{1}{2}c{ρ}_{1}^{\;}A{v}_{m}^{2}$
解得：${v}_{m}^{\;}=\sqrt{\frac{8{ρ}_{2}^{\;}π{r}_{\;}^{3}}{3c{ρ}_{1}^{\;}A}}$
答：（1）雨滴下落全程的v-t图象如图所示．
（2）设下落高度足够大．试计算雨滴落到地面的速度大小${v}_{m}^{\;}$为$\sqrt{\frac{8{ρ}_{2}^{\;}π{r}_{\;}^{3}}{3c{ρ}_{1}^{\;}A}}$．

点评 对雨滴进行受力分析、应用平衡条件、认真审题从题中获取所需信息、分析清楚雨滴的运动过程是正确解题的关键．