Question

（2010?重庆模拟）如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星 O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，天文学家观测得到A行星的运行轨道半径为 R₀，周期为T₀．A 行星的半径为r₀，其表面的重力加速度为g，不考虑行星的自转．
（ l ）中央恒星O的质量是多大？
（ 2 ）若A行星有一颗距离其表面为h做圆周运动的卫星，求该卫星的线速度大小．（忽略恒星对卫星的影响）

Answer 1

分析：（1）行星由恒星的万有引力提供向心力，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律由行星的运行轨道半径为 R₀，周期为T₀求出恒星O的质量．
（2）卫星绕行星做匀速圆周运动，行星对卫星的万有引力提供卫星的向心力，再由牛顿第二定律求解卫星的线速度大小．

解答：解：（1）设中央恒星O的质量为M，A行星的质量为m，则由万有引力定律和牛顿第二定律得 
           G

Mm

R 2 0

=m

4π2R0

T 2 0

            
        解得 M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

                         
     （2）设卫星的质量为m₀，由题意可知：
          G

mm0

(r0+h)2

=m0

v2

(r0+h)

  
          G

mm0

r 2 0

=m₀g    
       解得：v=

g r 2 0 r0+h

                              
答：（1）中央恒星O的质量是M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

；
    （2）该卫星的线速度大小为

g r 2 0 r0+h

．

点评：本题中第（1）要注意已知旋转天体的轨道半径和周期求出的是中心天体的质量，而不是旋转天体本身的质量．