Question

11．当金属的温度升高到一定程度时就会向四周发射电子，这种电子叫热电子．通常情况下，热电子的初速度可以忽略不计．如图，相距为L的两平行金属板之间接上高压电源E₂，E₂的电压恒定为U．电源E₁是用来给灯丝加热而产生热电子的，灯丝与M板靠得很近（M、N之间可当作匀强电场）．a、b、c、d是匀强电场中的四个均匀分布的等势面．当电源接通后，电流表的示数为I，且保持不变．已知热电子的质量是m、电量是e．求：
（1）电子经过等势面c时的速度是多大？
（2）c、d两等势面之间的电子数N₁是多少？
（3）d、N两等势面之间的电子数N₂与c、d两等势面之间的电子数N₁的比值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据U=Ed求解电场强度，对M到C过程根据动能定理列式求解即可；
（2）对M到d过程根据动能定理列式d位置速度；然后根据平均速度公式求解从c到d的时间，最后根据q=It=Ne求解电子数目；
（3）与第二问同样方法先求解d、N两等势面之间的电子数N₂，然后即可得到比值．

解答 解：（1）电子M→c过程：
E=$\frac{U}{L}$，
${U}_{MC}=-E•\frac{3}{5}L=-\frac{3}{5}U$，
根据动能定理，有：
${U}_{MC}（-e）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
联立解得：
${v}_{C}=\sqrt{\frac{6Ue}{5m}}$  
（2）电阻M→d过程：
E=$\frac{U}{L}$，
${U}_{MC}=-E•\frac{4}{5}L=-\frac{4}{5}U$，
根据动能定理，有：
${U}_{Md}（-e）=\frac{1}{2}m{v}_{d}^{2}-0$
联立解得：
${v}_{d}=\sqrt{\frac{8Ue}{5m}}$，
从c到d过程，有：
${t}_{cd}=\frac{\frac{L}{5}}{{\overline{v}}_{cd}}$=$\frac{\frac{L}{5}}{\frac{{v}_{c}+{v}_{d}}{2}}$=$\frac{\frac{2L}{5}}{\sqrt{\frac{6Ue}{5m}}+\sqrt{\frac{8Ue}{5m}}}$=L$\sqrt{\frac{2m}{5Ue}}（\sqrt{4}-\sqrt{3}）$

${N}_{1}={N}_{cd}=\frac{I•{t}_{cd}}{e}=\frac{IL}{e}\sqrt{\frac{2m}{5Ue}}（\sqrt{4}-\sqrt{3}）$
（3）由M→N过程，根据动能定理，有：
$-U（-e）=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-0$，
解得：${v}_{N}=\sqrt{\frac{2Ue}{m}}$，
${t}_{dN}=\frac{\frac{L}{5}}{{\overline{v}}_{dN}}=\frac{\frac{L}{5}}{\frac{{v}_{N}+{v}_{d}}{2}}=\frac{\frac{2L}{5}}{\sqrt{\frac{2Ue}{m}}+\sqrt{\frac{8Ue}{5m}}}$=L$\sqrt{\frac{2m}{5Ue}}（\sqrt{5}-\sqrt{4}）$

${N}_{2}={N}_{dN}=\frac{I•{t}_{dN}}{e}=\frac{IL}{e}\sqrt{\frac{2m}{5Ue}}（\sqrt{5}-\sqrt{4}）$  
故$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{4}}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-2}$
答：（1）电子经过等势面c时的速度是$\sqrt{\frac{6Ue}{5m}}$；
（2）c、d两等势面之间的电子数N₁是$\frac{IL}{e}\sqrt{\frac{2m}{5Ue}}（\sqrt{4}-\sqrt{3}）$；
（3）d、N两等势面之间的电子数N₂是$\frac{IL}{e}\sqrt{\frac{2m}{5Ue}}（\sqrt{5}-\sqrt{4}）$，
与c、d两等势面之间的电子数N₁的比值是$\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-2}$．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式的综合运用，关键要正确建立物理模型，依据相关物理规律求解．