Question

20．某恒星的半径为R，现有一颗行星在距恒星表面高为h的圆形轨道上绕其运动，并测出了运动周期为T，则行星的线速度为$\frac{2π（R+h）}{T}$，恒星的质量为$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，恒星的密度为$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$．

Answer 1

分析 行星绕恒星做圆周运动万有引力提供圆周运动向心力，由此列式分析讨论即可．

解答 解：行星的轨道半径r=R+h
行星的线速度$v=\frac{2πr}{T}=\frac{2π（R+h）}{T}$
根据万有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得：$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
恒星的密度为$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
故答案为：$\frac{2π（R+h）}{T}$，$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$

点评 本题根据万有引力提供圆周运动向心力展开讨论，要知道已知旋转天体的轨道半径和周期，可求得中心天体的质量．