Question

18．如图，静止于A处的离子，经电压为U的加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左．静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为E₀，方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；$\overline{QN}$=2d、$\overline{PN}$=3d，离子重力不计．
（1）求圆弧虚线对应的半径R的大小；
（2）若离子恰好能打在NQ的中点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值；
（3）若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围．

Answer 1

分析 （1）离子在加速电场中加速时，电场力做功，动能增加，根据动能定理列出方程；粒子进入静电分析器，靠电场力提供向心力，结合牛顿第二定律列出方程，即可求出圆弧虚线对应的半径R的大小．
（2）离子进入矩形区域的有界匀强电场后做类平抛运动，将其进行正交分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合，可求解场强E₀的值．
（3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得到轨迹半径．画出粒子刚好打在QN上的临界轨迹，由几何关系求出临界的轨迹半径，即可求得B的范围．

解答 解：（1）离子在加速电场中加速，根据动能定理，有：$qU=\frac{1}{2}m{v^2}$，
离子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，根据牛顿第二定律有：$q{E_0}=m\frac{v^2}{R}$，
解得：$R=\frac{2U}{E_0}$；
（2）离子做类平抛运动：
d=vt
3d=$\frac{1}{2}a{t^2}$
由牛顿第二定律得：qE=ma，
解得：E=$\frac{12U}{d}$；
（3）离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有：$qBv=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$，
离子能打在QN上，则既没有从DQ边出去也没有从PN边出去，则离子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ．
由几何关系知，离子能打在QN上，必须满足：$\frac{3}{2}d＜r≤2d$，
则有：$\frac{1}{2d}\sqrt{\frac{2Um}{q}}≤B＜\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$；
答：（1）圆弧虚线对应的半径R的大小为$\frac{2U}{{E}_{0}}$；
（2）若离子恰好能打在NQ的中点上，矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值为$\frac{12U}{d}$；
（3）磁场磁感应强度B的取值范围是$\frac{1}{2d}\sqrt{\frac{2Um}{q}}≤B＜\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$．

点评 对于带电粒子在电场中加速过程，往往运用动能定理研究加速电压与速度的关系；对于电场中偏转问题，运动的分解是常用方法．磁场中的匀速圆周运动，要知道洛伦兹力充当向心力，画出轨迹是解答的关键，同时注意粒子在静电分析器中电场力不做功．