Question

17．如图甲所示，平行金属板AB的右端安放着竖直的金属板靶MN，现在AB板上加上如图乙所示的方波形电压，t=0时A板比B板的电势高，电压的正反向电压值均为U₀，今有带正电的粒子束以相同的初速度，从AB板的正中间沿OO′方向射入偏转电场中．已知所有进入偏转电场的粒子都能打在金属靶MN上，粒子在AB间的飞行时间为T，偏转金属板AB的板长为L，其板间的距离为d，每个粒子的电荷量为q，质量为m，粒子的重力忽略不计，试求：

（1）t=0时射入偏转电场的粒子击中靶MN时的速度大小v；
（2）t=$\frac{T}{4}$时射入偏转电场的粒子打在靶MN上的点到中心O′点的距离S；
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足的条件．（写出U₀，m、d、q，T的关系式即可）

Answer 1

分析 （1）采用正交分解法研究，粒子在水平方向是匀速直线运动，已知位移和时间，可以求解初速度；
在一个周期内，竖直方向的电场力的冲量恰好为零，故竖直方向的速度的变化量为零，故打在靶上时刻，速度与靶垂直；
（2）t=$\frac{T}{4}$时射入偏转电场的粒子，在水平方向是匀速直线运动，在竖直方向是先向下做匀加速直线运动，再向下做匀减速直线运动，结合牛顿第二定律和位移公式列式求解；
（3）t=$\frac{T}{4}$时射入偏转电场的粒子，侧移量最大，考虑临界条件即可．

解答 解：（1）采用正交分解法研究：
粒子在水平方向是匀速直线运动；
一个周期T内，竖直方向的电场力的冲量恰好为零，故竖直方向的速度的变化量为零；
故L=vT
解得：v=$\frac{L}{T}$
（2）t=$\frac{T}{4}$时射入偏转电场的粒子，前$\frac{T}{2}$在竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，后$\frac{T}{2}$在竖直方向是匀加速直线运动，速度时间图象如图所示：

故位移为：S=2×$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=2×$\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{0}}{md}×（\frac{T}{2}）^{2}$
解得：S=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{4md}$
（3）t=$\frac{T}{4}$时射入偏转电场的粒子，侧移量最大，只要该时刻发射的粒子能够打在靶MN上，则所有的粒子都可以打在靶MN上，故：
S$≤\frac{d}{2}$
联立解得：
${U}_{0}≤\frac{2m}{q{T}^{2}}$
答：（1）t=0时射入偏转电场的粒子击中靶MN时的速度大小v为$\frac{L}{T}$；
（2）t=$\frac{T}{4}$时射入偏转电场的粒子打在靶MN上的点到中心O′点的距离S为$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{4md}$；
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，电压U₀的数值应满足的条件为${U}_{0}≤\frac{2m}{q{T}^{2}}$．

点评 本题关键是采用正交分解法研究电荷的运动，结合动量定理得到在一个周期内，电场力竖直方向的分量为零，速度的竖直方向的分量的变化量为零．