Question

14．在竖直平面内的直角坐标系xOy，x轴沿水平方向，如图甲所示，第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E₁，坐标系的第一象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E₂=$\frac{{E}_{1}}{2}$匀强磁场方向垂直纸面，一个质重m=0.01g、带电荷量9=+1.0×10^-3C的微粒以v₀=4m/s的速度垂直x轴从A点竖直向上射入第二象限，随后又以v₁=8m/s的速度从+y轴上的C点沿水平方向进入第一象限，取微粒刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正方向），重力加速度月取10m/s²．求：
（1）A点和C点的坐标值；
（2）要使带电微粒通过C点后的运动过程中不再越过y轴，求交变磁场的磁感应强度B₀和变化周期T₀的乘积B₀T₀应满足的关系；
（3）若在+x轴上取一点D，使OD=$\sqrt{3}$OC，在满足第（2）问的条件下，要使微粒沿x正方向通过D点，求磁感应强度B₀的最小值及磁场的变化周期T₀的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用运动的合成和分解，针对每个方向的分运动运用牛顿第二定律结合运动学规律求解；
（2）找到不越过y轴的临界情况，画出过程图，根据几何知识知转过的圆心角，再根据周期和角度关系列式求解；
（3）要使微粒沿x正方向通过D点，作出粒子的运动的轨迹图，根据洛伦兹力提供向心力，得出粒子在磁场中运动的半径大小，结合几何关系，求出磁感应度的通项表达式，再根据周期的关系求出磁场的变化周期T₀的通项表达式，最后分析通项表达式找出B₀与T₀的最值情况．

解答 解：（1）在第二象限内，带电粒子受竖直向下的重力mg和水平向右的电场力qE₁作用，
在竖直方向上有：t=$\frac{{v}_{0}}{g}$，h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
在水平方向上有：x=$\frac{{v}_{1}}{2}$t
解得：h=0.8m，x=1.6m
即A点的坐标为（-1.6，0），C点的坐标为（0，0.8）
（2）由第（1）问可知：qE₁=2mg，又因为E₂=$\frac{{E}_{1}}{2}$，解得：qE₂=mg，且方向相反，二力恰好平衡，所以带点微粒在第一象限内做匀速圆周运动
当交变磁场周期取最大值而微粒不再越过y轴时，其他情况均不会再越过，此时运动情景如图所示

由图可知：θ=$\frac{5}{6}$π，即交变磁场的变化周期T₀需满足T₀≤$\frac{5}{6}T$
根据向心力公式有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
根据圆周运动周期公式有：T=$\frac{2πR}{{v}_{1}}$
解得：B₀T₀≤$\frac{π}{60}$kg/C
（3）要使微粒从C点运动到D点，其轨迹示意图如图所示：

由于OD=$\sqrt{3}$OC，则有：α=60°
根据向心力公式有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由图中几何关系有：h=R，随着磁感应强度的变化，微粒可以重复多次上述运动至D点
所以有：h=nR（其中n=1，2，3…）
解得：B₀=0.1n（其中n=1，2，3…）
根据第（2）问求解可知，微粒做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
又因为$\frac{{T}_{0}}{2}$=$\frac{T}{6}$
解得：T₀=$\frac{π}{15n}$（其中n=1，2，3…）
分析可知，当n=1时，B₀达到最小值为0.1T，T₀达到最大值为$\frac{π}{15}$s．
答：（1）A点的坐标为（-1.6，0），C点的坐标为（0，0.8）；
      （2）要使带电微粒通过C点后的运动过程中不再越过y轴，交变磁场的磁感应强度B₀和变化周期T₀的乘积应满足B₀T₀≤$\frac{π}{60}$kg/C
      （3）若在+x轴上取一点D，使OD=$\sqrt{3}$OC，在满足第（2）问的条件下，要使微粒沿x正方向通过D点，磁感应强度B₀的最小值为0.1T，磁场的变化周期T₀的最大值为$\frac{π}{15}$s．

点评 本题考查带电粒子在复合场（电场与重力场）中运动，带电粒子在磁场中的运动，分析受力，确定质点的运动情况是解题的基础．结合粒子运动的周期性以及临界状态，运用数学几何知识综合求解；解题时要作出准确规范的运动过程图，以便更快地找到几何关系．