Question

5．如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其它恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（　　）

• A． 甲星所受合力为$\frac{3G{M}^{2}}{4{R}^{2}}$
• B． 乙星所受合力为$\frac{G{M}^{2}}{{R}^{2}}$
• C． 甲星做圆周运动的周期为4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5GM}}$
• D． 丙星做圆周运动的线速度大小为5$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$

Answer 1

分析 根据万有引力定律分别求出甲星和乙星所受的合外力大小，甲丙靠万有引力的合力提供向心力，角速度相等，线速度的大小相等．根据万有引力提供向心力求出周期、线速度的大小．

解答 解：A、甲星所受的合力为：${F}_{甲}^{\;}=G\frac{{M}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}+G\frac{{M}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{5}{4}\frac{G{M}_{\;}^{2}}{{R}_{\;}^{2}}$．故A错误．
B、乙星受到甲、丙两星所受的引力大小相等，方向相反，所受的合力为零．故B错误．
C、根据$\frac{5G{M}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=M\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$得甲星做圆周运动的周期为：$T=4π\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{5GM}}$．故C正确．
D、丙星所受的合力与甲星所受的合力大小相等，根据$\frac{5GM}{4{R}_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得：v=$\sqrt{\frac{5GM}{4R}}$．故D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键知道星体做圆周运动向心力的来源，甲丙两星所受的合力相等，轨道半径相等，角速度相等，线速度大小相等．