Question

【题目】利用电磁场可以控制带电粒子的速度大小与方向。在图示坐标系的第Ⅱ象限，存在一个圆心为坐标原点的圆环状的均匀辐向电场，圆环在y轴上的截面长度为R，电场中各点电势为，式中k为正的已知常量，r为该点到圆心O的距离。在y轴右侧，圆心为（R，0）、半径为R的虚线圆内分布着方向垂直于圆面的匀强磁场，在处有一竖直放置的足够长的探测屏。今在圆弧的点放置一个离子源，能不断释放质量为m、电荷量为的带电离子。当磁场的磁感应强度大小为时，这些经电场加速的离子刚好能从磁场区域最高点射出。忽略离子初速度，不计离子重力及相互作用力，不考虑空气阻力。

(1)求离子在磁场中的速率v；

(2)若磁场的磁感应强度大小可调，求离子打在屏上的纵坐标y与磁感应强度大小B、原磁感应强度大小的关系式；

(3)若将离子源沿环形电场外边界缓慢移动，使所有离子均沿竖直方向射出磁场，求磁场区域的最小面积，画出磁场形状并标明磁感应强度的大小与方向。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

(1)扇形电场的电势差为

离子在加速电场中根据动能定理有

联立解得速率

(2)改变磁场磁感应强度，离子运动轨迹如下图所示

则离子打在屏上的纵坐标

二倍角公式

两半径满足

其中

联立解得

(3)两种可能情形：一是射出磁场的离子均沿整直向下（）方向，所需磁场区域的最小面积为

磁场形状及磁感应强度的大小与方向如下图所示

二是射出磁场中的离子均沿竖直向上（）方向，所需磁场区域的最小面积为

磁场形状及磁感应强度的大小与方向如下图所示