Question

2．如图所示，光滑的半圆形细管，固定在竖直平面内，在管的下端处与粗细相同的水平直管相切，并连接光滑，一小球以v₀的速度从连接处进入半圆形管，欲使小球经过最高点时对管壁有向下的压力，v₀应满足2$\sqrt{gr}$≤v₀＜$\sqrt{5gr}$．

Answer 1

分析 若小球在最高点时对管壁有向下的压力，则管壁对小球有向上的支持力，则小球所受重力和支持力的合力提供向心力，小球的速度再根据从最低点到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒即可求解范围．

解答 解：在最高点小球的重力和管壁对小球的支持力提供向心力，
则mg-T=$\frac{{v}^{2}}{r}$，
当T=0时，速度最大，
解得：v=$\sqrt{gr}$
所以当0≤v＜$\sqrt{gr}$时，小球在最高点时对管壁有向下的压力，
从最低点到最高点的过程中，只有重力做功，由机械能守恒得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2r+$\frac{1}{2}$mv² 
当v=0时，解得：${v}_{0}=2\sqrt{gr}$，
当v=$\sqrt{gr}$时，解得：${v}_{0}=\sqrt{5gr}$
所以v₀的范围为：2$\sqrt{gr}$≤v₀＜$\sqrt{5gr}$
故答案为：2$\sqrt{gr}$≤v₀＜$\sqrt{5gr}$．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、圆周运动向心力公式的直接应用，难度适中．