Question

6．无人驾驶汽车是通过车载传感系统感知道路环境，自动规划路线并控制车辆到达预定目标的智能汽车．其有一项技术为车距保持技术，主要是利用车上的声学或者光学仪器对两车距离减小监测，一旦两车距离接近或低于设定值时，后车系统会自动制动或减小油门开度，而前车可增大油门开度的方式来保持两车之间的车距，其模型可理想化如下：在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量都为m，当两球心间的距离大于l（比2r大得多）时，两球之间无相互作用力，当两球心间的距离等于或小于l时，两球间存在相互作用的恒定斥力F．设A球从远离B球处以两倍于B球速度大小沿两球连心线向B球运动，如图所示，欲使两球不发生接触，A球速度v_A必须满足什么条件？

Answer 1

分析 A球向B球接近至A、B间的距离小于L之后，A球的速度逐步减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离逐步减小．当A、B两球的速度相等时，两球间的距离最小．若此距离大于2 r，则两球就不会接触．结合牛顿第二定律和运动学公式求出${v}_{A}^{\;}$必须满足的条件．

解答 解：A球向B球接近至A、B间的距离小于l之后，A球的速度逐步减小，B球从静止开始加速运动，两球间的距离逐步减小．当A、B的速度相等时，两球间的距离最小．若此距离大于2r，则两球就不会接触．所以不接触的条件是
v₁=v₂?…①?
l+s₂-s₁＞2r…②
其中v₁、v₂为当两球间距离最小时A、B两球的速度；s₁、s₂为两球间距离从l变至最小的过程中，A、B两球通过的路程．
由牛顿定律得A球在减速运动而B球作加速运动的过程中，A、B两球的加速度大小为
?${a}_{1}^{\;}=\frac{F}{m}$            ${a}_{2}^{\;}=\frac{F}{m}$…③
设${v}_{A}^{\;}$为A球的初速度，由运动学公式得：
${v}_{1}^{\;}={v}_{A}^{\;}-\frac{F}{m}t$                 ${v}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}+\frac{F}{m}t$…④

${s}_{1}^{\;}={v}_{A}^{\;}t-\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}_{\;}^{2}$            ${s}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}t+\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}_{\;}^{2}$…⑤

联立解得：${v}_{A}^{\;}＜4\sqrt{\frac{F（L-2r）}{m}}$…⑥
答：欲使两球不发生接触，A球速度v_A必须满足条件${v}_{A}^{\;}＜4\sqrt{\frac{F（L-2r）}{m}}$

点评 解决本题的关键知道两球速度相等时，有最短距离，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．