Question

15．如图所示，光滑圆弧形凹槽ABC放在水平地面上，O为圆心，A、C两点等高且为圆弧边缘，B为最低点，张角∠AOC可随意调节，圆弧半径r=0.5m．现将OA与竖直方向的夹角θ₁调为53°，把一个质量m=0.1kg的小球从水平桌面的边缘P点以v₀=3m/s向右水平抛出，该小球恰能从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽．已知sin53°=0.8，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力．
（1）求小球运动到A点时的速度大小；
（2）求小球在B点时对轨道的压力大小；
（3）改变θ₁和v₀的大小，同时把凹槽在水平地面上左右移动，使小球仍能从A点沿切线方向进入凹槽．若PA与竖直方向的夹角为θ₂，试证明tanθ₁•tanθ₂=2．

Answer 1

分析 （1）小球从P到A做平抛运动，到达A点时速度沿圆弧的切线方向，即与水平方向成θ₁角，应用速度分解法求出小球运动到A点时的速度．
（2）小球从A到B的过程，由机械能守恒定律求出物体在B点的速度，然后又牛顿定律求出小球在B点时对轨道的压力．
（3）根据分速度的规律和平抛运动的分解法证明即可．

解答 解：（1）将小球经A点时的速度v_A分解，有
  v_Acosθ₁=v₀
解得  v_A=$\frac{{v}_{0}}{cos{θ}_{1}}$=$\frac{3}{0.6}$=5m/s
（2）小球从A到B的过程，由机械能守恒定律有
  mgr（1-cosθ₁）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在B点，对小球，由牛顿第二定律有
   F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$
代入数据解得  F_N=6.8N
由牛顿第三定律知，小球经B点时对圆槽的压力大小为6.8N．
（3）小球能从A点沿切线方向进入圆弧，说明其经A点时的速度v_A与水平方向的夹角为θ₁．设它从P到A的时间为t，则有
   tanθ₁=$\frac{gt}{{v}_{0}}$
   tanθ₂=$\frac{{v}_{0}t}{\frac{1}{2}g{t}^{2}}$=$\frac{2{v}_{0}}{gt}$
所以有  tanθ₁•tanθ₂=2，得证
答：
（1）小球运动到A点时的速度大小是5m/s． 
（2）小球在B点时对轨道的压力大小是6.8N．
（3）略．

点评 本题关键是分析清楚物体的运动情况，掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法，明确向心力的来源：指向圆心的合力．