Question

13．如图所示，三个同心圆将空间分隔成四个区域，圆I的半径为R；圆II的半径为2R，在圆I与圆Ⅱ间的环形区域内存在垂直于纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场；圆III是一绝缘圆柱形管，半径为4R，在圆Ⅱ与圆III间存在垂直于纸面向里的匀强磁场B₁．在圆心O处有一粒子源，该粒子源可向各个方向射出速率相同、质量为m、带电荷量为q的粒子，粒子重力不计．假设粒子每一次经过圆Ⅱ且与该圆相切时均进入另一磁场．粒子源所射出的粒子刚好沿圆II的切线方向进入匀强磁场B₁．
（1）求粒子的速度大小；
（2）若进入匀强磁场B₁的粒子刚好垂直打在圆III的管壁上，求B₁的大小（可用B表示）；
（3）若打在圆III管壁上的粒子能原速率反弹，求粒子从O点开始到第一次回到O点所经历的时间．

Answer 1

分析 （1）由题意，粒子进入两磁场的界面时均与界面相切，画出粒子的运动轨迹，由几何关系求出粒子在Ⅱ区做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力从而求出粒子的速度．
（2）由题设条件，粒子是垂直打在管道上，由几何关系画出此种情况下粒子的轨迹，由勾股定理求出粒子在Ⅲ区做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力，结合粒子在Ⅱ区做匀速圆周运动的关系，从而Ⅲ区磁场的磁感应强度大小．
（3）由几何关系分别求出粒子在Ⅱ区Ⅲ区做匀速圆周运动的偏转角，而半径分别在前两问中已经求出，根据粒子运动的对称性，一共是四段圆弧和两段直线运动，由运动学公式求出粒子第一次返回O点的时间．

解答 解：（1）粒子的运动轨迹如图所示
由牛顿第二定律得：Bqv=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{1}}$
由几何关系得：r₁²+R²=（2R-r₁）²
解得：v=$\frac{3BqR}{4m}$
（2）由牛顿第二定律得B₁qv=$\frac{m{v}^{2}}{{r}_{2}}$
由几何关系得：r₂²+（4R）²=（2R+r₂）²
解得：B₁=$\frac{B}{4}$
（3）由几何关系得：圆心角θ₁=127°
 圆心角θ₂=53°
 粒子运动的第一段弧长：l₁=$\frac{{θ}_{1}}{360°}×2π{r}_{1}$
粒子运动的第二段弧长：l₂=$\frac{{θ}_{2}}{360°}×2π{r}_{2}$
由几何关系知粒子第一次回到O点运动的时间：vt=2（l₁+l₂+R）
解得：t=$\frac{（80+113π）m}{30qB}$
答：（1）求粒子的速度大小为$\frac{3BqR}{4m}$．
（2）若进入匀强磁场B₁的粒子刚好垂直打在圆III的管壁上，B₁的大小为$\frac{B}{4}$．
（3）若打在圆III管壁上的粒子能原速率反弹，则粒子从O点开始到第一次回到O点所经历的时间为$\frac{（80+113π）m}{30qB}$．

点评 本题涉及到的是带电粒子在圆形磁场和环形磁场中做匀速圆周运动的特殊情况：①沿半径方向射入圆形磁场，射出时与界面相切，用勾股定理求出半径，由洛仑兹力提供向心力从而求出进入磁场的速度．②从环形磁场的内边界进入场区，垂直打在外边界，同样由勾股定理求出在该区做匀速圆周运动的半径，从而求出该区的磁感应强度大小．