Question

18．如图所示，光滑水平面上有一小车B，右端固定一沙箱，沙箱上连接一水平的轻质弹簧，小车与沙箱的总质量为M=2kg．车上在与沙箱左侧距离S=1m的位置上放一质量为m=1kg小物块A，物块A与小车的动摩擦因数为μ=0.1．仅在沙面上方空间存在水平向右的匀强电场，场强E=2×10³V/m．当物块A随小车以速度v₀=10m/s向右做匀速直线运动时，距沙面H=5m高处有一质量为m₀=2kg的带正电q=1×10^-2C的小球C，以u₀=10m/s的初速度水平向左抛出，最终落入沙箱中．已知小球与沙箱的相互作用时间极短，且忽略弹簧最短时的长度，并取g=10m/s²．求：

（1）小球落入沙箱前的速度u和开始下落时与小车右端的水平距离x；
（2）小车在前进过程中，弹簧具有的最大值弹性势能EP；
（3）设小车左端与沙箱左侧的距离为L，请讨论分析物块A相对小车向左运动的过程中，其与小车摩擦产生的热量Q与L的关系式．

Answer 1

分析 （1）小球C在电场中运动过程，受到重力和电场力作用，两个力均为恒力，可采用运动的分解法研究：竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀减速运动，根据牛顿第二定律和位移公式结合求解．
（2）小球落入沙箱的过程，系统水平动量守恒，由动量守恒定律求出小球落入沙箱后的共同速度．之后，由于车速减小，物块相对车向右运动，并压缩弹簧，当A与小车速度相同时弹簧的弹性势能最大．根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解．
（3）由功能关系求热量Q与L的关系式．要分物块是否从小车上滑下两种情况研究．

解答 解：（1）设小球C下落到沙箱的时间为t，则竖直方向上有 H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球在水平方向做匀减速运动，则 qE=m₀a_x．
由运动学公式有 u_x=u₀-a_xt
代入数据解得  a_x=10m/s²，u_x=0，t=1s
所以小球落入沙箱前的速度 u=u_y=gt=10m/s，方向竖直向下．
小球开始下落时与小车右端的水平距离 x=x₁+x₂=v₀t+$\frac{{u}_{0}t}{2}$
解得 x=15m
（2）取向右为正方向，在小球落入沙箱的过程中，小车（不含物块A）和小球的系统在水平方向动量守恒，设小球落入沙箱瞬间，车与球的共同速度为v₁．
有 Mv₀=（M+m₀）v₁．
解得 v₁=5m/s
     由于车速减小，随后物块A相对小车向右运动并将弹簧压缩，在此过程中，A与小车（含小球）的系统动量守恒，当弹簧压缩至最短时整个系统有一共同速度v₂．
根据动量守恒定律得 mv₀+（M+m₀）v₁=（M+m+m₀）v₂．
解得 v₂=6m/s
根据能量转化和守恒定律得：
最大值弹性势能 E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（M+m₀）v₁²-$\frac{1}{2}$（M+m+m₀）v₂²-μmgS
代入数据解得 E_P=9J
（3）随后弹簧向左弹开物块A，假设A运动至车的左端时恰好与车相对静止，此过程中系统动量仍守恒，所以系统具有的速度仍为 v₂=6m/s
根据功能关系有 E_P=μmgL₀；
解得小车左端与沙箱左侧的距离为 L₀=9m
分情况讨论如下：
   ①若L≥L₀=9m，物块A停在距离沙箱左侧L₀=9m处与小车一起运动，因此摩擦产生的热量为
    Q₁=μmgL₀；
解得 Q₁=9J
   ②若L＜L₀=9m，物块A最终会从沙箱左侧滑下，因此摩擦产生的热量为
    Q₂=μmgL；
答：
（1）小球落入沙箱前的速度u为10m/s，方向竖直向下．开始下落时与小车右端的水平距离x是15m；
（2）小车在前进过程中，弹簧具有的最大值弹性势能是9J；
（3）①若L≥L₀=9m，摩擦产生的热量为9J．若L＜L₀=9m，物块A最终会从沙箱左侧滑下，摩擦产生的热量为   Q₂=μmgL．

点评 解决该题关键要正确分析小球的运动情况，掌握动量守恒和能量守恒列出等式求解，注意小球掉小车的过程中是小球与车水平方向的动量守恒．