Question

4．如图所示，质量为m、带电量为-q的小球放在光滑绝缘倾斜导轨上，导轨倾角为45°，其下端平滑连接一半径为R的竖直圆形光滑绝缘轨道，整个装置放在方向水平向左，强度为E=$\frac{mg}{q}$的匀强电场中．小球在A点由静止释放．试问：
（1）若AB高度差为H，则小球到达最低点B点时对圆轨道的压力为多少？
（2）若小球能通过竖直轨道，则AB高度差为多少？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出B点的速度，在B点竖直方向的合力提供向心力，即可求出小球到达最低点B点时对圆轨道的压力；
（2）将电场力和重力的合力等效为重力，求出等效重力场最高点的速度，再对整个全过程运用动能定理即可求出AB高度差；

解答 解：（1）根据题意$E=\frac{mg}{q}$，则Eq=mg
A到B过程电场力与重力做功，根据动能定理有：$EqH+mgH=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
解得：${v}_{B}^{\;}=\sqrt{4gH}$
在B点受重力、电场力和轨道的支持力，合力提供向心力，得：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立以上公式，求得：${F}_{N}^{\;}=mg+m\frac{4gH}{R}=mg（1+\frac{4H}{R}）$
根据牛顿第三定律，轨道对小球的压力等于小球对轨道的压力，即$mg（1+\frac{4H}{R}）$
（2）将电场力和重力的合力当作重力，等效重力$\sqrt{2}mg$

等效重力场的最高点：$\sqrt{2}mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
根据动能定理，有
$mg（H-R-\frac{\sqrt{2}}{2}R）+Eq（H-\frac{\sqrt{2}}{2}R）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
代入数据：$H=\frac{3\sqrt{2}+2}{4}R$
答：（1）若AB高度差为H，则小球到达最低点B点时对圆轨道的压力为$mg（1+\frac{4H}{R}）$
（2）若小球能通过竖直轨道，则AB高度差为$\frac{3\sqrt{2}+2}{4}R$

点评 考查动能定理与向心力公式的应用，注意力做功的正负，注意等效重力的思维是解题的关键．注意等效重力场的“最高点”与圆周轨道的最高点的区别．