Question

18．如图所示是一把湿雨伞的侧面（图1）和俯视投影图（图2），当雨伞绕着中心轴线旋转，并达到一定的角速度时，伞边缘的雨滴就会沿边缘切线方向甩出去，设质量为m的雨滴的径向附着力最大为Fo，雨伞投影半径为r，o点离地面高h，不计空气阻力，重力加速度为g 
（1）求雨滴能被甩出去，雨伞的角速度至少为多大？
（2）A、B两个都为m的雨滴所夹圆心角为θ（弧度制θ＜π），当同时恰好被甩出后，落到地面上的印迹相距的距离多大？

Answer 1

分析 （1）根据附着力充当向心力来求角速度的大小．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合初速度和时间求出水平距离，通过几何关系求出伞面边缘上甩出去的水滴落在水平地面上形成的圆的半径

解答 解：（1）当径向附着力刚好提供向心力时，是雨滴甩出的临界条件：
${F}_{0}=m{ω}_{0}^{2}r$
可得：ω₀=$\sqrt{\frac{{F}_{0}}{mr}}$
（2）A、B甩出的线速度大小都为V、下落时间为t、甩出点到落点的水平距离都为S
落点到伞柄中心轴的距离为R、两落点的间距为x  则：
V=ωr-------------①
甩出后作平抛运动：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$------------②
S=Vt-----------------③
根据几何关系：
R²=r²+S²--------------④
x=$2Rsin\frac{θ}{2}$----------------------⑤
联立①②③④⑤得x=$\sqrt{{r}^{2}+\frac{2{F}_{0}hr}{mg}}$
答：
（1）雨滴能被甩出去，雨伞的角速度至少$\sqrt{\frac{{F}_{0}}{mr}}$．
（2）当同时甩出后，落到地面上的印迹相距的距离$\sqrt{{r}^{2}+\frac{2{F}_{0}hr}{mg}}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，本题容易错认为平抛运动的水平距离即为地面上形成的圆的半径，需通过几何关系求解