Question

10．如图所示，在某行星表面上有一倾斜的匀质圆盘，面与水平面的夹角为30°，盘面上离转轴距离L处有小物体与圆盘保持相对静止，绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，角速度为ω时，小物块刚要滑动，物体与盘面间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{2}$（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），星球的半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 这个行星的质量M=$\frac{4{ω}^{2}{R}^{2}L}{G}$
• B． 这个行星的第一宇宙速度v₁=2ω$\sqrt{LR}$
• C． 这个行星的同步卫星的周期是$\frac{π}{ω}$$\sqrt{\frac{R}{L}}$
• D． 离行星表面距离为R的地方的重力加速度为2ω²L

Answer 1

分析 当物体转到圆盘的最低点，由重力沿斜面向下的分力和最大静摩擦力的合力提供向心力时，角速度最大，由牛顿第二定律求出重力加速度，然后结合万有引力提供向心力即可求出．

解答 解：物体在圆盘上受到重力、圆盘的支持力和摩擦力，合力提供向心加速度；可知当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：
μmgcos30°-mgsin30°=mω²L
所以：g=$\frac{{ω}^{2}L}{μcos30°-sin30°}$=4ω²L
A、绕该行星表面做匀速圆周运动的物体受到的万有引力提供向心力，则：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{ω}^{2}R$=mg
所以：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{4{ω}^{2}{R}^{2}L}{G}$．故A正确；
B、这个行星的第一宇宙速度v₁=$\sqrt{gR}$=2ω$\sqrt{LR}$．故B正确；
C、不知道同步卫星的高度，所以不能求出同步卫星的周期．故C错误；
D、离行星表面距离为R的地方的万有引力：F=$\frac{GMm}{（2R）^{2}}=\frac{GMm}{4{R}^{2}}=\frac{1}{4}mg=m{ω}^{2}L$；即重力加速度为ω²L．故D错误．
故选：AB

点评 本题关键要分析向心力的来源，明确角速度在什么位置最大，由牛顿第二定律进行解题．