Question

7．“嫦娥工程”计划在第二步向月球发射一个软着陆器，在着陆器附近进行现场勘测．已知地球的质量约为月球质量的80倍，地球的半径约为月球半径的4倍，地球表面的重力加速度为g_地=10m/s²，地球的第一宇宙速度为7.9km/s．假设将来测得着陆器撞击月球表面后又竖直向上弹起，并且经过2s钟后落回到月球表面．试求：（1）它弹起时的初速度v₀．
（2）月球的第一宇宙速度是多少．（不考虑地球和月球的自转；结果保留两位有效数字）．

Answer 1

分析 在星球表面的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{mM}{{r}^{2}}$，在地球表面：$G\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}=m{g}_{地}$，在月球表面：$G\frac{{M}_{2}m}{{R}_{2}^{2}}=m{g}_{月}$，根据地球和月球的质量和半径的比值关系，可以计算出月球表面的重力加速度．再根据竖直上抛的特点，速度具有对称性，即竖直上抛的初速度等于落回时的速度大小，由速度公式可求出初速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力求得月球的第一宇宙速度．

解答 解：设地球和月球的质量分别为M₁和M₂，半径分别为R₁和R₂，
月球表面的重力加速度为g_月，设着陆器的质量为m，则有：
在地球表面：$G\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}=m{g}_{地}$        
在月球表面：$G\frac{{M}_{2}m}{{R}_{2}^{2}}=m{g}_{月}$
又M₁=81M₂、R₁=4R₂
得：${g}_{月}=\frac{16}{81}{g}_{地}$
由竖直上抛的规律有：$t=\frac{2{v}_{0}}{{g}_{月}}$$\frac{{g}_{月}t}{2}=\frac{\frac{16}{81}×10×2}{2}m/s≈2.0m/s$
（2）在星球表面有：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{V^2}{R}$
可得星球的第一宇宙速度$V=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
所以$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}=\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}}}}=\frac{9}{2}$
所以${v}_{月}=\frac{2}{9}{v}_{地}=\frac{2}{9}×7.9km/s=1.8km/s$
答：（1）它弹起时的初速度v₀为2.0m/s；
（2）月球的第一宇宙速度是1.8km/s．

点评 在星球表面重力与万有引力相等，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，这是解决本题的关键因素，掌握竖直上抛的原理．