Question

2．如图所示，在水平地面上静置一块长方形木板，木板左端O离地面C位置距离OC=7.5m，C位置有一个光感应开关，只要木板右端滑过C点立即启动锁定装置让木板静止，A不受影响．现让质量为m_A=3kg的小滑块A（质点）以v₀=4m/s的初速度滑上长木板B，质量m_B=1kg，AB间动摩擦因数μ₁=0.2，水平面与木板间的动摩擦因数μ₂=0.1，滑块A最终没有脱离木板．A、B都作直线运动，g=10m/s²．求：
（1）小滑块A滑上长木板B时，二者的加速度大小a_A、a_B．
（2）长木板B至少的长度L_min．
（3）取题（2）中的板长值L_min，通过计算确定这样的木板是否会被锁定而停止运动？小滑块A停止时离C点的水平距离d．

Answer 1

分析 （1）小滑块A滑上长木板B时，根据牛顿第二定律求二者的加速度大小．
（2）当小滑块与长木板B共速时，两者的相对位移大小即为长木板B的最小长度．根据速度相等和速度公式求出时间，再由位移时间公式求解．
（3）小滑块与长木板B共速后两者一起向右匀减速运动，由速度位移公式求出继续滑行的位移，再求小滑块A停止时离C点的水平距离d．

解答 解：（1）小滑块A滑上长木板B时，根据牛顿第二定律得：
小滑块的加速度大小为 a_A=$\frac{{μ}_{1}{m}_{A}g}{{m}_{A}}$=μ₁g=2m/s²．
对长木板B，根据牛顿第二定律得：
     μ₁m_Ag-μ₂（m_A+m_B）g=m_Ba_B．
解得 a_B=2m/s²．
（2）设滑上B到AB共速所用时间设为t，共同速度为v，则有
   v=a_Bt=v₀-a_At
解得 t=1s，v=2m/s
AB共速后将一起以加速度μ₂g匀减速运动直到停止
所以长木板B的最小长度 L_min=x_A-x_B=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t-\frac{v}{2}t$=$\frac{{v}_{0}}{2}t$=$\frac{4}{2}$×1=2m
（3）从前面的（1）（2）分析可知，滑块A先以初速度v₀，加速度a_A=μ₁g=2m/s²做匀减速，接着以μ₂g=1m/s²做匀减速运动直到零，故
小滑块A停止时离C点的水平距离 d=OC-（$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$+$\frac{{v}^{2}}{2{μ}_{2}g}$）
解得 d=2.5m
答：
（1）小滑块A滑上长木板B时，二者的加速度大小a_A、a_B都为2m/s²．
（2）长木板B至少的长度L_min是2m．
（3）小滑块与长木板B共速后两者一起向右匀减速运动直到停止，小滑块A停止时离C点的水平距离是2.5m．

点评 解决本题的关键理清滑块和长木板在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式分段研究，要注意分析隐含的临界状态：两者共速的状态．