Question

17．汤姆孙测定电子比荷（电子的电荷量与质量之比）的实验装置如图所示．真空玻璃管内，阴极K发出的电子经加速后，穿过小孔A、C沿中心轴线OP₁进入到两块水平正对放置的极板D₁、D₂间的区域，射出后到达右端的荧光屏上形成光点．若极板D₁、D₂间无电压，电子将打在荧光屏上的中心P₁点；若在极板间施加偏转电压U，则电子将打P₂点，P₂与P₁点的竖直间距为b，水平间距可忽略不计．若再在极板间施加一个方向垂直于纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出），则电子在荧光屏上产生的光点又回到P₁点．已知极板的长度为L₁，极板间的距离为d，极板右端到荧光屏间的距离为L₂．忽略电子的重力及电子间的相互作用．
（1）求电子进入极板D₁、D₂间区域时速度的大小；
（2）推导出电子的比荷的表达式；
（3）若去掉极板D₁、D₂间的电压，只保留匀强磁场B，电子通过极板间的磁场区域的轨迹为一个半径为r的圆弧，阴极射线射出极板后落在荧光屏上的P₃点．不计P₃与P₁点的水平间距，求P₃与P₁点的竖直间距y．

Answer 1

分析 （1）当电子在极板D₁、D₂间受到电场力与洛伦兹力平衡时，做匀速直线运动，受力平衡，由平衡条件可求出电子运动速度．
（2）极板间仅有偏转电场时，电子在电场中做类平抛运动，将运动分解成沿电场强度方向与垂直电场强度方向，然后由牛顿第二定律和运动学公式可求出偏转距离和离开电场时的速度．电子离开电场后，做匀速直线运动，从而可以求出偏转距离．
（3）极板D₁、D₂间仅有匀强磁场时，电子做匀速圆周运动，射出磁场后电子做匀速直线运动，画出电子运动的轨迹，根据几何知识求解y．

解答 解：（1）电子在极板D₁、D₂间电场力与洛伦兹力的作用下沿中心轴线运动，即受力平衡，设电子的进入极板间时的速度为v．
由平衡条件有：
evB=eE
两极板间电场强度：
$E=\frac{U}{d}$
解得：
$v=\frac{U}{Bd}$
（2）极板间仅有偏转电场时，电子以速度v进入后，水平方向做匀速运动，在电场内的运动时间：
${t_1}=\frac{L_1}{v}$
电子在竖直方向做匀加速运动，设其加速度为a．
由牛顿第二定律有：
F=ma
解得加速度：
$a=\frac{eU}{md}$
电子射出极板时竖直方向的偏转距离：
${y_1}=\frac{1}{2}at_1^2=\frac{eUL_1^2}{{2md{v^2}}}$
电子射出极板时竖直方向的分速度为：
v_y=at₁=$\frac{{eU{L_1}}}{mdv}$
电子离开极板间电场后做匀速直线运动，经时间t₂到达荧光屏，t₂=$\frac{L_2}{v}$
电子在t₂时间在竖直方向运动的距离：
y₂=v_yt₂=$\frac{{eU{L_1}{L_2}}}{{md{v^2}}}$
这样，电子在竖直方向上的总偏移距离：
b=y₁+y₂
解得电子比荷：
$\frac{e}{m}=\frac{2Ub}{{{L_1}（{L_1}+2{L_2}）d{B^2}}}$
（3）极板D₁、D₂间仅有匀强磁场时，电子做匀速圆周运动，射出磁场后电子做匀速直线运动，如答图所示．

则：
$tanθ=\frac{L_1}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
穿出磁场后在竖直方向上移动的距离：
${y_3}={L_2}tanθ=\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
则：$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+{y_3}$
解得：$y=r-\sqrt{{r^2}-L_1^2}+\frac{{{L_1}{L_2}}}{{\sqrt{{r^2}-L_1^2}}}$
答：（1）电子进入极板D₁、D₂间区域时速度的大小为$\frac{U}{Bd}$；
（2）电子的比荷的表达式为$\frac{2Ub}{{L}_{1}（{L}_{1}+2{L}_{2}）d{B}^{2}}$；
（3）P₃与P₁点的竖直间距y为$r-\sqrt{{r}^{2}-{L}_{1}^{2}}+\frac{{L}_{1}{L}_{2}}{\sqrt{{r}^{2}-{L}_{1}^{2}}}$．

点评 本题是组合场问题：对速度选择器，根据平衡条件研究；对于类平抛运动的处理，通常采用运动的分解法律：将运动分解成相互垂直的两方向运动，将一个复杂的曲线运动分解成两个简单的直线运动，并用牛顿第二定律和运动学公式来求解．对于带电粒子在磁场中的圆周运动，要正确画出轨迹，运用几何知识进行解题．