Question

9．如图所示，质量M_A=2m的直杆A悬于离地面很高处，杆A上套有质量M_B=m的小环B．将小环B由静止释放，环做加速度a=$\frac{3}{4}$g的匀加速运动．经过时间t后，将杆A上方的细线剪断，杆A开始下落．杆A足够长，环B始终未脱离杆A，不计空气阻力，已知重力加速度为g，求：
（1）杆A刚下落时的加速度a′；
（2）在小环B下落的整个过程中，环B对杆A所做的功W；
（3）在小环B下落的整个过程中，系统产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）对B进行受力分析，求出A与B之间的摩擦力的大小；
（2）设当A下落 t 时间时二者的速度相等，之后二者相对静止，所以速度相等前杆受到的摩擦力与位移才乘积就是环B对杆A所做的功；
（3）整个过程中产生的热量等于二者之间的摩擦力与相对位移的乘积，先求出相对位移，再根据Q=fs即可求出．

解答 解：（1）对小环B进行受力分析，由牛顿第二定律可得：M_Bg-f=M_Ba
解得：f=$\frac{1}{4}$mg
剪断绳后B的加速度不变仍为a=$\frac{3}{4}$g
对物体A，剪断的瞬间A受到重力和向下的摩擦力，则：M_Ag+f=M_Aa′
代入数据，解得：$a′=\frac{9}{8}g$
（2）当A下落 t 时间时二者的速度相等，则：v=v_A=v_B，A、B相对静止无摩擦力存在
v=a（△t+t）=a′t
解得：t=2△t
A下落的高度：h′=$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$=$\frac{9}{4}g△{t}^{2}$
B对A做的功：W=fh′=$\frac{1}{4}mg×\frac{9}{4}g△{t}^{2}$=$\frac{9}{16}m{g}^{2}△{t}^{2}$
（3）B下落的高度：h=$\frac{1}{2}a（t+△t）^{2}$
解得：h=$\frac{27}{8}g△{t}^{2}$
小环B相对A的位移：s=h-h′
得：s=$\frac{9}{8}g△{t}^{2}$
下落过程中，系统生成的热量Q=fs
得：Q=$\frac{9}{32}m{g}^{2}△{t}^{2}$
答：（1）杆A刚下落时的加速度是$\frac{9}{8}g$；
（2）在小环B下落的整个过程中，环B对杆A所做的功是$\frac{9}{16}m{g}^{2}△{t}^{2}$；
（3）在小环B下落的整个过程中，系统产生的热量Q是$\frac{9}{32}m{g}^{2}△{t}^{2}$．

点评 该题结合功能关系考查牛顿第二定律与受力分析，解答本题关键是对环和杆受力分析，然后根据牛顿第二定律求出各个过程的加速度，最后结合运动学公式列式求解．