Question

13．宇航员在空气非常稀薄的X星球上做研究平抛运动的实验．宇航员以初速度υ₀（υ₀已知）水平抛出一物体，并在坐标纸上描出如图所示的运动轨迹（x₀、y₀均测出），O为抛出点．若已知X星球的半径为R，万有引力常量为G．根据以上信息可求出（　　）

• A． X星球的质量
• B． 宇航员在X星球表面的重力
• C． X星球的第一宇宙速度
• D． X星球的同步卫星的线速度

Answer 1

分析 物体在星球表面做平抛运动，其加速度等于该星球表面的重力加速度g，根据平抛运动的规律列式求g，根据物体的重力等于万有引力，列式求该星球的质量．
第一宇宙速度就是卫星贴近该星球表面飞行的速度，根据万有引力提供向心力，得$v=\sqrt{gR}$

解答 解：A、根据竖直方向$2{y}_{0}^{\;}-{y}_{0}^{\;}=g{T}_{\;}^{2}$①
水平方向：${x}_{0}^{\;}={v}_{0}^{\;}T$②
联立①②得：$g=\frac{{y}_{0}^{\;}{v}_{0}^{2}}{{x}_{\;}^{2}}$
根据星球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得X星球的质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{y}_{0}^{\;}{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{G{x}_{\;}^{2}}$，故A正确；
B、因为宇航员质量未知，所以无法求出宇航员在X星球表面的重力，故B错误；
C、第一宇宙速度公式${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}$，由A求出星球表面的第一宇宙速度，所以可求出X星球的第一宇宙速度，故C正确；
D、因为X星球自转的角速度未给出，所以无法求出X星球的同步卫星的线速度，故D错误；
故选：AC

点评 本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量．