Question

有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处和，分别将质量为的物体和质量为的待发射卫星同时自由释放，只要比足够大，碰撞后，质量为的物体，即待发射的卫星就会从通道口冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知＝20，地球半径＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．

Answer 1

位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为

                    ，                                （1）

式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为

                                                        （2）

于是，质量为的物体所受地球的引力可以改写为

                                     （3）

作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为

                                        （4）

                                          （5）

为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中

点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表示为

                                                       （6）

式中是地球的质量。由上式可以得到

                                                      （7）

由以上各式可以求得

                                                     （8）

可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为

                                                           （9）

物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有

                                               （10）

式中表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得

                                                     （11）

可见，到达通道中点的速度与物体的质量无关。

设想让质量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是，方向相反，刚碰撞后，质量为的物体的速度为，质量为的物体的速度为，若规定速度方向由向为正，则有

                   ，                     （12）

                 （13）

解式（12）和式（13），得

                                                     （14）

质量为的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口处时的速度为，则有

                  （15）

由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得

                    （16）

的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使的方向改变成沿地球处的切线方向，如果的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有

                              （17）

由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到

                    （18）

已知m，则得

                         （19）

评分标准：本题20分。

求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。