Question

如图所示，两个等高的台阶P和Q相距d=4m，台阶面和它们之间的水平地面均光滑．在地面上靠近P台阶处静止有一辆质量为M=2kg的平板小车，车的上表面与台阶面齐平．一质量为m=6kg的货物（可视为质点）以初速度v₀=4m/s在从台阶P冲上小车．货物与平板车之间的摩擦系数为μ=0.2，小车与台阶的碰撞没有机械能损失．
（1）若小车与台阶Q第一次碰撞时，货物已经在车的最右端与小车相对静止，求小车的长度L；
（2）在第（1）问情况下，货物从离开台阶P到冲上台阶Q所需的时间t；
（3）若台阶P、Q间的距离足够长，其他条件不变，要让货物能冲上台阶Q，求小车所有可能的长度．

Answer 1

（1）货物冲上平板车到达到共同速度，以货物与车组成的系统为研究对象，以货物的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v_共1，
由能量守恒定律得：

1

2

m

v

20

=

1

2

(M+m)

v

2共1

+μmgL，
联立代入数据得：v_共1=3m/s，L=1m；
（2）货物冲上平板车到达到共同速度，对货物，由动量定理得：
-μmgt₁=mv_共1-mv₀
由动能定理得：-μmgx1=

1

2

m

v

2共1

-

1

2

m

v

20

，
联立并代入数据得：t₁=0.5s x₁=1.75m，
之后匀运动直至与台阶Q相碰：t₂=

d-x1

V共1

=0.75s
从P到Q总用：t=t₁+t₂=0.5+0.75=1.25s，
（3）PQ间距离足够长，货物与小车第一次达到共同速度的值不受影响．v_共1=3m/s
Q第一次碰后会第二次达到共同速度，以货物初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv_共1-Mv_共1=（M+m）v_共2
解得：v共2=

1

2

v共1，方向向右；
小车再与Q碰撞．碰后的情况与之前的情况类似．所以，第n次达到共同速度时：v共n=(

1

2

)n-1v共1，
若第n次达到共同速度时，货物恰好出现在小车右端，则货物可以冲上台阶Q．
从冲上小车到冲上Q，整个过程货物只相对小车向右单向运动．对系统
由动能定理得：-μmgL1=

1

2

(m+M)

v

2共n

-

1

2

m

v

20

，
解得：L₁=4-

2

4n-1

（n=1、2、3…）
答：（1）小车的长度1m；
（2）货物从离开台阶P到冲上台阶Q所需的时间为1.25s；
（3）小车所有可能的长度4-

2

4n-1

（n=1、2、3…）．