Question

5．如图所示，有一竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，当滑块运动时，圆筒内壁对滑块有阻力的作用，阻力的大小恒为F_f=$\frac{1}{2}$mg（g为重力加速度）．在初始位置滑块静止，圆筒内壁对滑块的阻力为零，弹簧的长度为l．现有一质量也为m的物体从距地面2l处自由落下，与滑块发生碰撞，碰撞时间极短．碰撞后物体与滑块粘在一起向下运动，运动到最低点后又被弹回向上运动，滑动到刚发生碰撞位置时速度恰好为零，不计空气阻力．求
（1）物体与滑块碰撞后共同运动速度的大小；
（2）下落物体与薄滑块相碰过程中损失的机械能多大．
（3）碰撞后，在滑块向下运动的最低点的过程中弹簧弹性势能的变化量．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出碰撞前的速度，碰撞过程动量守恒，由动量守恒定律可以求出碰撞后的速度．

（2）由能量守恒定律可以求出损失的机械能．
（3）应用动能定理求出弹簧做功，然后求出弹性势能的变化量．

解答 解：（1）设物体下落至与薄滑块碰撞前的速度为v₀，
在此过程中机械能守恒，依据机械能守恒定律有：mgl=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v₀=$\sqrt{2gl}$，
设碰撞后共同速度为v，以向下为正方向，由动量守恒定律有：mv₀=2mv，
解得：v=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gl}$．
（2）物体与薄滑块相碰过程中损失的机械能：$△E=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}2m{v^2}=\frac{mgl}{2}$；
（3）设物体和滑块碰撞后下滑的最大距离为x，依据动能定理，对碰撞后物体与滑块一起向下运动到返回初始位置的过程，由动能定理得：-2F_fx=0-$\frac{1}{2}$×2mv²，
设在滑块向下运动的过程中，弹簧的弹力所做的功为W，依据动能定理，对碰撞后物体与滑块一起向下运动到最低点的过程，有：W+2mgx-F_fx=0-$\frac{1}{2}$×2mv²，
解得：W=-$\frac{5}{4}$mgl，
弹簧的弹性势能增加了$\frac{5}{4}$mgl；
答：（1）物体与滑块碰撞后共同运动速度的大小为$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gl}$．
（2）下落物体与薄滑块相碰过程中损失的机械能为$\frac{1}{2}$mgl．
（2）碰撞后，在滑块向下运动的最低点的过程中弹簧弹性势能的变化量为$\frac{5}{4}$mgl．

点评 本题考查了求速度、损失的机械能、弹性势能的变化，分析清楚运动过程，应用机械能守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．