Question

9．2013年12月2日，我国成功发射了“嫦娥三号”探月卫星．“嫦娥三号”着陆前子啊距月球表面100km高度的轨道上做圆周运动，这比“嫦娥二号”距月球表面200km的圆形轨道更有利于对月球表面做出精细测绘．已知月球的质量为地球质量的$\frac{1}{81}$，月球的半径约为地球半径的$\frac{1}{4}$，地球半径为6.4×10⁶m，地球表面附近的重力加速度为9.8m/s²．估算：（结果可保留根式）
（1）月球表面重力加速度的值
（2）“嫦娥二号”与“嫦娥三号”在各自圆轨道上运行速度的比值．

Answer 1

分析 （1）星球表面重力与万有引力相等，求得重力加速度的表达式，再根据地月半径质量关系和地球表面的重力加速度求得月球表面的重力加速度；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力，由轨道半径关系求得线速度之比．

解答 解：（1）物体在星球表面受到的重力等于万有引力，
即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
$\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}$=$\frac{\frac{G{M}_{月}}{{R}_{地}^{2}}}{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}^{2}}}$=$\frac{{M}_{月}{R}_{地}^{2}}{{{M}_{地}R}_{月}^{2}}$，
解得：g_月=1.9 m/s²；
（2）设探月卫星圆轨道半径为r，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
对于“嫦娥二号”r₁=R_月+200 km=1800 km
对于“嫦娥三号”r₂=R_月+100 km=1700 km
“嫦娥二号”与“嫦娥三号”在各自圆轨道上运行速度的大小之比为：
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{17}{18}}$≈0.97．
答：（1）月球表面附近的重力加速度是1.9 m/s²；
（2）“嫦娥一号”与“嫦娥二号”在各自圆轨道上运行速度的大小之比为0.97．

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．