Question

3．如图所示，两物块A和B的质量均为m，两轻质弹簧的劲度系数分别为k₁和k₂，上端弹簧分别与物块A和B拴接，下端弹簧的上端与物块B拴接，下端与地面接触但不拴接，轻绳跨过光滑定滑轮Q与A和一轻质小桶P相连，此时A和B均静止．现缓慢地向小桶P内加人细砂，当下端弹簧刚要离开地面时．重力加速度为g．求：
（1）小桶P内所加人的细砂质量m_砂；
（2）小桶下降的高度h．

Answer 1

分析 （1）当下端弹簧刚要离开地面时，上面一根弹簧对B的拉力恰好等于B的重力，对A受力分析求出绳子的拉力，再对P受力分析，根据细砂的重力等于绳子的拉力求解细沙的质量；
（2）系统原来处于平衡状态，两个弹簧均被压缩，弹簧k₂的弹力等于两物体的总重力．缓慢地向小桶P内加人细砂，直到B刚离开上面弹簧时弹簧k₂的弹力等于m₂g，根据胡克定律分别求出下面弹簧两种状态下压缩的长度以及后来上面弹簧的伸长量，进而求出h．

解答 解：（1）当下端弹簧刚要离开地面时，上面一根弹簧对B的拉力恰好等于B的重力，即F_弹=mg，
此时A受力平衡，对A受力分析，根据平衡条件得绳子拉力为：T=mg+F_弹=2mg，
P受力平衡，则细砂的重力等于绳子的拉力，根据平衡条件得：m_砂g=T，
解得：m_砂=2m
（2）没有向小桶P内加人细砂时，两根弹簧都处于压缩状态，根据胡克定律得：
上端弹簧的压缩量${x}_{1}=\frac{mg}{{k}_{2}}$，
下端弹簧的压缩量${x}_{2}=\frac{2mg}{{k}_{1}}$，
当下端弹簧刚要离开地面时，下端弹簧回复原长，
上端弹簧的伸长量${x}_{3}=\frac{mg}{{k}_{2}}$，
则小桶下降的高度为：h=${h}_{1}+{h}_{2}+{h}_{3}=\frac{2mg}{{k}_{2}}+\frac{2mg}{{k}_{1}}$．
答：（1）小桶P内所加人的细砂质量m_砂为2m；
（2）小桶下降的高度h为$\frac{2mg}{{k}_{2}}+\frac{2mg}{{k}_{1}}$．

点评 对于弹簧问题，往往先分析弹簧原来的状态，再分析变化后弹簧的状态，找出物体移动距离与弹簧形变之间的关系．