Question

一竖直平面内的轨道由粗糙斜面 AB、光滑圆弧轨道 BC、粗糙水平直道CD组成（如图a所示：其中AB与BC相切于B点，C为圆轨道的最低点，且为BC圆弧与CD相切点）．将小球置于轨道ABC上离地面高为 H处由静止下滑，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力N，改变H的大小，可测出相应的 N 大小，N 随H的变化关系如图b折线 EFG所示（EF与FG两直线相连接于F点），FG反向延长交纵轴于一点的坐标是（0，5.8N），重力加速度g取 10m/s²，求：
（1）圆弧轨道的半径及轨道BC 所对圆心角（可用角度的三角函数值表示）
（2）小球与斜面AB间的动摩擦因数?

Answer 1

分析：（1）若物块只在圆轨道上运动，由动能定理得到物块滑到C处的速度与高度H的关系．物块经过C处时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律列出N与速度的关系，联立得到N与H的解析式，结合图线求出半径和圆心角．
（2）如果物块由斜面上滑下，由动能定理得到速度的表达式，再研究C点的向心力，联立得到N与H的表达式，用同样的方法求出动摩擦因数．

解答：解：（1）如果物块只在圆轨道上运动，则由动能定理  mgH=

1

2

mv2
得  v=

2gH

由向心力公式得  N-mg=m

v2

R

得：N=mg+m

v2

R

=

2mg

R

H+mg
结合EF图线得：mg=5，则m=0.5kg．
            

2mg

R

=10得  R=1m　　　　　
由数学知识得  cosθ=

R-H

R

=

1-0.2

1

=0.8，则θ=37°
（2）如果物块由斜面上滑下，由动能定理：
mgH-μmgcosθ（H-0.2）?

1

sinθ

=

1

2

mv2，得mv2=2mgH-

8

3

μmg(H-0.2)
由向心力公式得
N-mg=m

v2

R

得：N=mg+m

v2

R

=

2mg- 8 3 μmg

R

H+

1.6

3

μmg+mg
结合图线FG的斜率得

2mg- 8 3 μmg

R

=6，得 μ=0.3     
答：
（1）圆弧轨道的半径是1m，轨道BC所对圆心角是37°．
（2）小球与斜面AB间的动摩擦因数是0.3．

点评：本题根据动能定理和圆周运动的规律得到N与H的解析式，再结合图线的数学意义，求解轨道半径等，是常用的数形结合的方法．