Question

9．如图所示，由轻杆组成的Z形装置ABCDE可绕竖直轴BC转动，质量均为m=1kg的甲、乙两小球与两细线连接后分别系于A、G和B、E处，细线BF长l₁=0.5m，EF的长度大于BF的长度，AH、GH长均为l₂=0.4m．装置 静止时，细线BF与竖直方向的夹角θ=37°，细线HG、EF水平，细线AH竖直，已知g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）当装置的角速度取不同值时，通过计算，画出相应稳定状态下各条细线拉力T与角速度的平方ω²之间的函数图象
（2）若装置匀速转动的角速度ω=5rad/s时，细线HG和FE突然断裂，且Z形装置停转，求断裂瞬间绳AH和BF的拉力大小之比．

Answer 1

分析 （1）装置转动稳定时，甲乙两球都在水平面内做匀速圆周运动．由合力提供向心力，运用正交分解法分别求各绳的拉力与角速度平方的关系，再画出图象．
（2）若装置匀速转动的角速度ω=5rad/s时，细线HG和FE突然断裂，且Z形装置停转，甲球将垂直于纸面摆动，乙球将做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出断裂瞬间绳AH和BF的拉力，再得到拉力之比．

解答 解：（1）装置转动稳定时，甲乙两球都在水平面内做匀速圆周运动．
对于绳AH，其拉力始终等于小球甲的重力，即 T_AH=mg=10N．
对于绳GH，其拉力提供甲做圆周运动所需要的向心力，即 T_GH=mω²l₂=0.4ω²．
对于乙球，绳EF刚好无拉力时，有 mgtan37°=mω²l₁sin37°
解得装置转动的角速度的平方为ω²=此后，当转速继续增大时，乙球将会“飘”起来，绳子EF的拉力变为零．
在乙球飘起来之前，由牛顿第二定律，
   水平方向有：T_BFsin37°-T_EF=mω²l₁sin37°
   竖直方向有：T_BFcos37°=mg
解得：T_BF=12.5N，T_EF=7.5-0.3ω²．
在乙球飘起来之后，有 T_BFsinθ=mω²l₁sinθ
解得 T_BF=0.5ω²．
综上分析，画出各条细线拉力T与角速度的平方ω²之间的函数图象如图．
（2）若装置匀速转动的角速度ω=5rad/s时，细线HG和FE突然断裂，且Z形装置停转，甲球将垂直于纸面摆动，乙球将做匀速圆周运动
对于甲球：T_AH-mg=mω²l₂
解得T_AH=20N
对于乙球，有：T_BFcos37°=mg
解得T_BF=12.5N
则断裂瞬间绳AH和BF的拉力大小之比 T_AH：T_BF=8：5．
答：（1）画出各条细线拉力T与角速度的平方ω²之间的函数图象如图．
（2）断裂瞬间绳AH和BF的拉力大小之比 T_AH：T_BF=8：5．

点评 本题考查了共点力平衡和牛顿第二定律的基本运用，解决本题的关键理清小球做圆周运动的向心力来源，确定小球运动过程中的临界状态，运用牛顿第二定律进行求解．