Question

17．如图所示：绝缘中空轨道竖直固定，圆弧段COD光滑，对应圆心角为120°，C、D两端等高，O为最低点，圆弧圆心为O′，半径为R；直线段AC、HD粗糙，与圆弧段分别在C、D端相切；整个装置处于方向垂直于轨道所在平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中，在竖直虚线MC左侧和ND右侧还分别存在着场强大小相等、方向水平向右和向左的匀强电场．现有一质量为m、电荷量恒为q、直径略小于轨道内径、可视为质点的带正电小球，从轨道内距C点足够远的P点由静止释放．已知PC=L，小球所受重力大小为电场力的$\sqrt{3}$倍，重力加速度为g．
（1）定性说明小球第一次沿软道AC下滑时的运动情况；
（2）求小球在轨道内受到的摩擦力的最大值；
（3）求小球从释放开始，经过足够长时间，小球克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）开始时，根据重力与电场力的大小，即可知带电小球与管壁无作用力，当小球下滑后做加速运动，导致洛伦兹力增加，从而使得小球与管壁间的作用力增加，进而滑动摩擦力增大，由牛顿第二定律即可分析小球的运动情况；
（2）当小球的摩擦力与重力及电场力的合力相等时，小球做匀速直线运动，小球在轨道内受到的摩擦力最大．根据滑动摩擦力等于电场力与重力的合力，从而求解；
（3）根据动能定理，结合电场力与重力的合力做功，与摩擦力做功的之和为零，来求解小球克服摩擦力做的功．

解答 解：A、小球第一次沿轨道AC下滑的过程中，由于重力大小为电场力的$\sqrt{3}$倍，由平行四边形定则可知，电场力与重力的合力方向恰好沿着斜面AC向下，刚开始小球与管壁间无作用力，当从静止开始运动后，随着速度的增大，由左手定则可知，洛伦兹力导致球对管壁有作用力，使得小球所受的滑动摩擦力增大，而重力与电场力的合力不变，所以小球的合外力减小，根据牛顿第二定律可知，小球做加速度减小的加速运动，当摩擦力等于两个力的合力时，做匀速运动；
（2）当小球的摩擦力与重力及电场力的合力相等时，小球做匀速直线运动，小球在轨道内受到的摩擦力最大，大小为 f_m=$\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}$，又 qE=$\frac{mg}{\sqrt{3}}$，解得 f_m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mg；
（3）小球从释放开始，经过足够长时间，小球在CD间往复运动，到达C或D的速度为零．取从静止开始到最终速度为零的过程，根据动能定理得知，摩擦力做功与重力及电场力做功之和为零，所以小球克服摩擦力做的总功等于电场力与重力的合力做的功，为 W=$\sqrt{（qE）^{2}+（mg）^{2}}$ L=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mgL．
答：（1）小球第一次沿软道AC下滑时的运动情况是小球先做加速度减小的加速运动，最后做匀速运动；
（2）小球在轨道内受到的摩擦力的最大值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mg；
（3）小球从释放开始，经过足够长时间，小球克服摩擦力做的功是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$mgL．

点评 解决本题的关键要正确分析小球的受力情况，来判断其运动情况，要抓住洛伦兹力与速度是成正比的关系，应用牛顿第二定律、动能定理，分析要注意重力与电场力的合力正好沿着斜面向下．