Question

4．一只狐狸以不变的速度v₁沿直线AB逃跑，猎犬以不变的速率v₂追击，其追击方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在AB上的F处，猎犬在D处，FD⊥AB，$\overline{FD}$=L，如图所示，设v₂＞v₁，问猎犬追上狐狸还需多长时间？

Answer 1

分析 由于追击方向始终正对狐狸，故可以根据速度的合成与分解得出竖直分速度，再结合数学知识求时间．

解答 解：把追及过程按时间分成很多小段，每小段的时间间隔为△t，设某一时刻，猎犬运动到E点，狐狸运动到H点，此时猎犬的速度方向应该沿EH的连线方向，则这个方向与DF的夹角为θ，那么猎犬在追上狐狸的过程中，猎犬和狐狸在AB方向上的位移关系为：
$\sum_{\;}^{\;}{v}_{2}sin{θ}_{i}•△{v}_{1}t$  （1）
即：v₂$\sum_{i}^{\;}sin{θ}_{i}•△t={v}_{1}t$  （2）
$\sum_{i}^{\;}sin{θ}_{i}•△t=\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}t$   （3）
在二者的连线方向上，由于猎犬速度始朝向狐狸，所以相对运动的位移关系为：
$\sum_{i}^{\;}（{v}_{2}-{v}_{1}sin{θ}_{i}）•△t=L$   （4）
即：
v₂t-v₁$\sum_{i}^{\;}sin{θ}_{i}•△t=L$  （5）
将（3）式代入（5）式可得：t=$\frac{{v}_{2}L}{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}$
答：猎犬追上狐狸还需时间为$\frac{{v}_{2}L}{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}$．

点评 本题考查运动的合成和分解规律，要注意明确虽然两动物不是直线运动，但二者的速度大小始终不变，因此可以根据运动的合成和分解规律求出竖直分速度的关系．